حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x {(x - 4)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 1.1.4.6

اضرب ${(x - 4)}^{3}$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1.1.5.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1.1.5.3

أخرِج العامل $2 {(x - 4)}^{2}$ من $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1

أخرِج العامل $2 {(x - 4)}^{2}$ من $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1.1.5.3.2

أخرِج العامل $2 {(x - 4)}^{2}$ من $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

خطوة 1.1.5.3.3

أخرِج العامل $2 {(x - 4)}^{2}$ من $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

خطوة 1.1.5.4

أضف $3 x$ و $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.5

أعِد كتابة ${(x - 4)}^{2}$ بالصيغة $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.6

وسّع $(x - 4) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.7.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.7.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.7.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.9.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.9.2

اضرب $2$ في $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

خطوة 1.1.5.10

وسّع $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.3

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.4

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.6.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.7

اضرب $- 16$ في $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.8

اضرب $- 4$ في $- 16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.9

اضرب $4$ في $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

خطوة 1.1.5.11.10

اضرب $32$ في $- 4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

خطوة 1.1.5.12

اطرح $64 x^{2}$ من $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

خطوة 1.1.5.13

أضف $64 x$ و $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 72 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $192$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $192 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $192$ في $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بما أن $- 128$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 128$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $24 x^{2} - 144 x + 192$ و $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $24$ من $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $24$ من $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $24$ من $- 144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $24$ من $192$ .

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $24$ من $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ .

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $24$ من $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 6 x + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $8$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 4, - 2$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 4, 2$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $4$ في $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

خطوة 3.1.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

خطوة 3.1.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (4) = 8 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.4

اضرب $8$ في $0$ .

$f (4) = 0$

خطوة 3.1.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $4$ في $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ هي $(4, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(4, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $2$ في $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $4$ من $2$ .

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

خطوة 3.3.2.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = 4 \cdot - 8$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $4$ في $- 8$ .

$f (2) = - 32$

خطوة 3.3.2.5

الإجابة النهائية هي $- 32$ .

$- 32$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2$ في $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ هي $(2, - 32)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2, - 32)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(4, 0), (2, - 32)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.9$ في العبارة.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $1.9$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $24$ في $3.61$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 144$ في $1.9$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $273.6$ من $86.64$ .

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 186.96$ و $192$ .

$f'' (1.9) = 5.04$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $5.04$ .

$5.04$

خطوة 5.3

في $1.9$ ، المشتق الثاني هو $5.04$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(2, 4)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $24$ في $9$ .

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 144$ في $3$ .

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $432$ من $216$ .

$f'' (3) = - 216 + 192$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 216$ و $192$ .

$f'' (3) = - 24$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 24$ .

$- 24$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $3$ يساوي $- 24$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(2, 4)$

تناقص خلال $(2, 4)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.1$ في العبارة.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $4.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $24$ في $16.81$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 144$ في $4.1$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $590.4$ من $403.44$ .

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 186.96$ و $192$ .

$f'' (4.1) = 5.04$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $5.04$ .

$5.04$

خطوة 7.3

في $4.1$ ، المشتق الثاني هو $5.04$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(4, \infty)$ .

تزايد خلال $(4, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

خطوة 9