حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

خطوة 1.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

خطوة 1.1.3.4

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

خطوة 1.1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

خطوة 1.1.3.5.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

خطوة 1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

خطوة 1.1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

خطوة 1.1.4.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

خطوة 1.1.4.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

خطوة 1.1.4.3.4

اضرب $8$ في $- 12$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{3} - 96 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 96$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 96 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 96$ في $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $24 x^{2} - 96$ .

$24 x^{2} - 96$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $24 x^{2} - 96 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$24 x^{2} - 96 = 0$

خطوة 2.2

أضف $96$ إلى كلا المتعادلين.

$24 x^{2} = 96$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $24 x^{2} = 96$ على $24$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $24 x^{2} = 96$ على $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{96}{24}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $96$ على $24$ .

$x^{2} = 4$

خطوة 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 2.5

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 2.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $2$ في $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

خطوة 3.1.2.2

اطرح $12$ من $4$ .

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.3

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 64$

خطوة 3.1.2.4

اضرب $2$ في $64$ .

$f (2) = 128$

خطوة 3.1.2.5

الإجابة النهائية هي $128$ .

$128$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2$ في $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ هي $(2, 128)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2, 128)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $12$ من $4$ .

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.3.2.3

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $2$ في $64$ .

$f (- 2) = 128$

خطوة 3.3.2.5

الإجابة النهائية هي $128$ .

$128$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ هي $(- 2, 128)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, 128)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(2, 128), (- 2, 128)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $24$ في $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

خطوة 5.2.2

اطرح $96$ من $105.84$ .

$f'' (- 2.1) = 9.84$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $9.84$ .

$9.84$

خطوة 5.3

في $- 2.1$ ، المشتق الثاني هو $9.84$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $24$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

خطوة 6.2.2

اطرح $96$ من $0$ .

$f'' (0) = - 96$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 96$ .

$- 96$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0$ يساوي $- 96$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 2, 2)$

تناقص خلال $(- 2, 2)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.1$ في العبارة.

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $24$ في $4.41$ .

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

خطوة 7.2.2

اطرح $96$ من $105.84$ .

$f'' (2.1) = 9.84$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $9.84$ .

$9.84$

خطوة 7.3

في $2.1$ ، المشتق الثاني هو $9.84$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

خطوة 9