حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x - 2)}^{3} + 3$

خطوة 1

اكتب $y = {(x - 2)}^{3} + 3$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x - 2)}^{3} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2.5

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.2.6

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + 0$

خطوة 2.1.3.2

أضف $3 {(x - 2)}^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 2) (x - 2)))$

خطوة 2.2.2

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)))$

خطوة 2.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))$

خطوة 2.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

خطوة 2.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

خطوة 2.2.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))$

خطوة 2.2.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))$

خطوة 2.2.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 x + 4))$

خطوة 2.2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 (x^{2} - 4 x + 4)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)$

خطوة 2.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

خطوة 2.2.7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

خطوة 2.2.9

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (4))$

خطوة 2.2.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + 0)$

خطوة 2.2.11

أضف $2 x - 4$ و $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4)$

خطوة 2.2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 4$

خطوة 2.2.12.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 4$

خطوة 2.2.12.2.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 x - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x - 12 = 0$

خطوة 3.2

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x = 12$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $6 x = 12$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = 12$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $12$ على $6$ .

$x = 2$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $2$ في $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = {((2) - 2)}^{3} + 3$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (2) = 0^{3} + 3$

خطوة 4.1.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (2) = 0 + 3$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$f (2) = 3$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2$ في $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ هي $(2, 3)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2, 3)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.9$ في العبارة.

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $6$ في $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

خطوة 6.2.2

اطرح $12$ من $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.6$ .

$- 0.6$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $1.9$ يساوي $- 0.6$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 2)$

تناقص خلال $(- \infty, 2)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.1$ في العبارة.

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $6$ في $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

خطوة 7.2.2

اطرح $12$ من $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.6$ .

$0.6$

خطوة 7.3

في $2.1$ ، المشتق الثاني هو $0.6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(2, 3)$ .

$(2, 3)$

خطوة 9