حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

اكتب $y = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.2.5.2

اطرح $3$ من $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

خطوة 2.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 2.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 2.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 2.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

خطوة 2.1.3.6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

خطوة 2.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

خطوة 2.1.3.8

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 2.1.3.9

اجمع $- 5$ و $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

خطوة 2.1.3.10

اضرب $2$ في $- 5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 2.1.3.11

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.1.3.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.1.4

اجمع $\frac{5}{3}$ و $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $\frac{5}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.6.2

اطرح $3$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.8

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.9

اضرب $\frac{5}{3}$ في $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.10

اضرب $2$ في $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.11

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.2.12

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- \frac{10}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

خطوة 2.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

خطوة 2.2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 2.2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 2.2.3.5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 2.2.3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

خطوة 2.2.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

خطوة 2.2.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 2.2.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 2.2.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

خطوة 2.2.3.9.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

خطوة 2.2.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

خطوة 2.2.3.11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 2.2.3.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 2.2.3.13

اضرب $x^{- \frac{2}{3}}$ في $x^{- \frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 2.2.3.13.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

خطوة 2.2.3.13.3

اطرح $2$ من $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

خطوة 2.2.3.13.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

خطوة 2.2.3.14

انقُل $x^{- \frac{4}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

خطوة 2.2.3.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{10}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.3.16

اضرب $\frac{10}{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.2.3.17

اضرب $\frac{10}{3}$ في $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 2.2.3.18

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

خطوة 3.2.2

Since $9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ .

خطوة 3.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 3.2.4

$9$ لها العاملان $3$ و $3$ .

$3 \cdot 3$

خطوة 3.2.5

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 3.2.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $9, 9, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$3 \cdot 3$

خطوة 3.2.7

اضرب $3$ في $3$ .

$9$

خطوة 3.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x^{\frac{4}{3}}$

خطوة 3.2.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $9$ في الجزء المتغير.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ في $9 x^{\frac{4}{3}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ في $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$9 \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

أخرِج العامل $x^{\frac{1}{3}}$ من $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$10 x^{\frac{3}{3}} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.4

اقسِم $3$ على $3$ .

$10 x^{1} + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.5

بسّط.

$10 x + \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$10 x + 9 \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 x + 9 \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 x + \frac{10}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 x + \frac{10}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.2.1.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 x + 10 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اضرب $9$ في $0$ .

$10 x + 10 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

خطوة 3.3.3.1.2

اضرب $0$ في $x^{\frac{4}{3}}$ .

$10 x + 10 = 0$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$10 x = - 10$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $10 x = - 10$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $10 x = - 10$ على $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 10}{10}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

اقسِم $- 10$ على $10$ .

$x = - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.1.2.1.6

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

خطوة 4.1.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

خطوة 4.1.2.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 1) = - 1 - 5 {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 \cdot 1$

خطوة 4.1.2.1.9

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $5$ من $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$ هي $(- 1, - 6)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, - 6)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

لكتابة $\frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $\frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}} {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب ${(- 1.1)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

انقُل ${(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.1)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{3 + 1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.2.2.4

أضف $3$ و $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 1.1) = \frac{10 {(- 1.1)}^{\frac{3}{3}} + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 (- 1.1) + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.4.2

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{10 \cdot - 1.1 + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.4.3

اضرب $10$ في $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 11 + 10}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.4.4

أضف $- 11$ و $10$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $1 (- 1)$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1 (- 1)}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

أخرِج العامل $1$ من $9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1 (- 1)}{1 (9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 6.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 1.1) = \frac{1 \cdot - 1}{1 (9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 6.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 1.1) = - \frac{1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.2.8

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{1}{9 {(- 1.1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 0.09785144$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.9$ في العبارة.

$f'' (- 0.9) = \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

لكتابة $\frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $\frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}} {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2.2

اضرب ${(- 0.9)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

انقُل ${(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.9)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{3 + 1}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.2.2.4

أضف $3$ و $1$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 0.9) = \frac{10 {(- 0.9)}^{\frac{3}{3}} + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اقسِم $3$ على $3$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 (- 0.9) + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.4.2

ارفع $- 0.9$ إلى القوة $1$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{10 \cdot - 0.9 + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.4.3

اضرب $10$ في $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{- 9 + 10}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.4.4

أضف $- 9$ و $10$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1 (1)$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{1 (1)}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

أخرِج العامل $1$ من $9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{1 (1)}{1 (9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 7.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 0.9) = \frac{1 \cdot 1}{1 (9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}})}$

خطوة 7.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 0.9) = \frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{1}{9 {(- 0.9)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 7.3

في $- 0.9$ ، المشتق الثاني هو $0.12786965$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1, - 6)$ .

$(- 1, - 6)$

خطوة 9