حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x}{x^{2} - 16}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 16})$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $x^{2} - 16$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.5

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - x (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

خطوة 2.1.9

اجمع $3$ و $\frac{- x^{2} - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.1.10.2.2

اضرب $3$ في $- 16$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 48}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 48) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 16)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 48) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 48) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} - 48$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 48)) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.6

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 48$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.7

أضف $- 6 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 48) (2 (x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.4

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) (2 x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 48) (2 \cdot ((x^{2} - 16) x))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 48) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) ((x^{2} - 16) x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 16)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 16)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x^{2} - 16)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3

وسّع $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.2

انقُل $- 16$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.3

اضرب $- 16$ في $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.2

اطرح $16 x^{2}$ من $- 16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 32 x^{2}) - 6 \cdot 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.6.1

اضرب $- 32$ في $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 192 x^{2} - 6 \cdot 256) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6.2

اضرب $- 6$ في $256$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 192 x^{2} - 1536) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{2} x - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 (x \cdot x^{2}) - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 (x \cdot x^{2}) - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{1 + 2} - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 48) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 4$ في $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{2} x - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{2 + 1} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + (12 x^{2} + 192) (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11

وسّع $(12 x^{2} + 192) (x^{3} - 16 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{2} (x^{3} - 16 x) + 192 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 (x^{3} - 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- 16 x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{2} x) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{1 + 2}) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{3}) + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.4

اضرب $12$ في $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} - 192 x^{3} + 192 x^{3} + 192 (- 16 x)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.5

اضرب $- 16$ في $192$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} - 192 x^{3} + 192 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.2

أضف $- 192 x^{3}$ و $192 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} + 0 - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.3

أضف $12 x^{5}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x + 12 x^{5} - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.2

أضف $- 6 x^{5}$ و $12 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 192 x^{3} - 1536 x - 3072 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.3

اطرح $3072 x$ من $- 1536 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 192 x^{3} - 4608 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{5} + 192 x^{3} - 4608 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 192 x^{3} - 4608 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $6 x$ من $192 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (32 x^{2}) - 4608 x}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $6 x$ من $- 4608 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (32 x^{2}) + 6 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x (x^{4}) + 6 x (32 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 6 x (- 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $6 x$ من $6 x (x^{4} + 32 x^{2}) + 6 x (- 768)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 32 u - 768)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.4

حلّل $u^{2} + 32 u - 768$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 768$ ومجموعهما $32$ .

$- 16, 48$

خطوة 2.2.5.4.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 16) (u + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.6

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 48))}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.7

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 16)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.5.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 4^{2})}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5.2

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{((x + 4) (x - 4))}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.6

احذِف العامل المشترك لـ $x + 4$ و ${(x + 4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.6.1

أخرِج العامل $x + 4$ من $6 x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((6 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.6.2.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((6 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

خطوة 2.2.5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x + 4) ((6 x (x - 4)) (x^{2} + 48))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

خطوة 2.2.5.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 4)) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.7

احذِف العامل المشترك لـ $x - 4$ و ${(x - 4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.7.1

أخرِج العامل $x - 4$ من $(6 x (x - 4)) (x^{2} + 48)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((6 x) (x^{2} + 48))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.7.2.1

أخرِج العامل $x - 4$ من ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((6 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

خطوة 2.2.5.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((6 x) (x^{2} + 48))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

خطوة 2.2.5.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 48)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$6 x (x^{2} + 48) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 48 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 48$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} + 48$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 48 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 48 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اطرح $48$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 48$

خطوة 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 48}$

خطوة 3.3.3.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 48}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1

أعِد كتابة $- 48$ بالصيغة $- 1 (48)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (48)}$

خطوة 3.3.3.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (48)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$

خطوة 3.3.3.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{48}$

خطوة 3.3.3.2.3.4

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.4.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}$

خطوة 3.3.3.2.3.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

خطوة 3.3.3.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \cdot (4 \sqrt{3})$

خطوة 3.3.3.2.3.6

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 4 i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 4 i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 4 i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 x (x^{2} + 48) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4 i \sqrt{3}, - 4 i \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 16}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 16}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 - 16}$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 16}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $0$ على $- 16$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 16}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 48)}{{((- 0.1) + 4)}^{3} {((- 0.1) - 4)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $6$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 48)}{{(- 0.1 + 4)}^{3} {(- 0.1 - 4)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 0.6$ في ${(- 0.1)}^{2} + 48$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{{(- 0.1 + 4)}^{3} {(- 0.1 - 4)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 0.1$ و $4$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{{3.9}^{3} {(- 0.1 - 4)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $4$ من $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{{3.9}^{3} {(- 4.1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $3.9$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{59.319 {(- 4.1)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.4

ارفع $- 4.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{59.319 \cdot - 68.921}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $59.319$ في $- 68.921$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 28.806}{- 4088.324799}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $- 28.806$ على $- 4088.324799$ .

$f'' (- 0.1) = 0.00704591$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $0.00704591$ .

$0.00704591$

خطوة 6.3

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.00704591$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 48)}{{((0.1) + 4)}^{3} {((0.1) - 4)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $6$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 48)}{{(0.1 + 4)}^{3} {(0.1 - 4)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $0.6$ في ${0.1}^{2} + 48$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{{(0.1 + 4)}^{3} {(0.1 - 4)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $0.1$ و $4$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{{4.1}^{3} {(0.1 - 4)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $4$ من $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{{4.1}^{3} {(- 3.9)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $4.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{68.921 {(- 3.9)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.4

ارفع $- 3.9$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{68.921 \cdot - 59.319}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $68.921$ في $- 59.319$ .

$f'' (0.1) = \frac{28.806}{- 4088.324799}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $28.806$ على $- 4088.324799$ .

$f'' (0.1) = - 0.00704591$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00704591$ .

$- 0.00704591$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 0.00704591$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \infty)$

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

خطوة 9