حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

خطوة 1

اكتب $y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ في صورة دالة.

$f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $5$ في $6$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $13$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ و $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $5$ في $- 6$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $30 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $4$ في $30$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + 0$

خطوة 2.2.4.2

أضف $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 120 x^{3} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $120 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 4 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 30 x^{3}$ من $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 4)$ .

$- 30 x^{3} (x - 4) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 30 x^{3} (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $6$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.5

اضرب $- 6$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

خطوة 4.1.2.2.3

أضف $0$ و $13$ .

$f (0) = 13$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $13$ .

$13$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ هي $(0, 13)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 13)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $4$ في $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - {(4)}^{6} + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $6$ .

$f (4) = - 1 \cdot 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4096$ .

$f (4) = - 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$f (4) = - 4096 + 6 \cdot 1024 - 6 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $6$ في $1024$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 6 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $- 6$ في $4$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 24 + 13$

خطوة 4.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أضف $- 4096$ و $6144$ .

$f (4) = 2048 - 24 + 13$

خطوة 4.3.2.2.2

اطرح $24$ من $2048$ .

$f (4) = 2024 + 13$

خطوة 4.3.2.2.3

أضف $2024$ و $13$ .

$f (4) = 2037$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2037$ .

$2037$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $4$ في $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ هي $(4, 2037)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(4, 2037)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 13), (4, 2037)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 120 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 30$ في $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 \cdot - 0.001$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $120$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.12$

خطوة 6.2.2

اطرح $0.12$ من $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.123$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.123$ .

$- 0.123$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.123$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 4)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = - 30 {(2)}^{4} + 120 {(2)}^{3}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2) = - 30 \cdot 16 + 120 {(2)}^{3}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 30$ في $16$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 {(2)}^{3}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 \cdot 8$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $120$ في $8$ .

$f'' (2) = - 480 + 960$

خطوة 7.2.2

أضف $- 480$ و $960$ .

$f'' (2) = 480$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $480$ .

$480$

خطوة 7.3

في $2$ ، المشتق الثاني هو $480$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, 4)$ .

تزايد خلال $(0, 4)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.1$ في العبارة.

$f'' (4.1) = - 30 {(4.1)}^{4} + 120 {(4.1)}^{3}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $4.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (4.1) = - 30 \cdot 282.5761 + 120 {(4.1)}^{3}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 30$ في $282.5761$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 {(4.1)}^{3}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $4.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 \cdot 68.921$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $120$ في $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 8270.52$

خطوة 8.2.2

أضف $- 8477.283$ و $8270.52$ .

$f'' (4.1) = - 206.763$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 206.763$ .

$- 206.763$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $4.1$ يساوي $- 206.763$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(4, \infty)$

تناقص خلال $(4, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 2037)$ .

$(0, 13), (4, 2037)$

خطوة 10