حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $32$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $48 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $48$ في $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $12$ من $96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $12$ من $48$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ ومجموعهما $b = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x$ .

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $8$ في صورة $2$ زائد $6$

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x + 2$ .

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $3 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $3 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 2 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 2$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{2}{3}$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- \frac{2}{3}$ في $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{2}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.3

اضرب $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ في $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.6.1

أخرِج العامل $3$ من $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.10

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.11

اضرب $16 (- \frac{8}{27})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.11.1

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.11.2

اجمع $- 16$ و $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.11.3

اضرب $- 16$ في $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

خطوة 3.1.2.1.13

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.13.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

خطوة 3.1.2.1.13.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

خطوة 3.1.2.1.14

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

خطوة 3.1.2.1.15

اضرب $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

خطوة 3.1.2.1.16

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

خطوة 3.1.2.1.17

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

خطوة 3.1.2.1.18

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.18.1

أخرِج العامل $3$ من $24$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

خطوة 3.1.2.1.18.2

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

خطوة 3.1.2.1.18.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

خطوة 3.1.2.1.18.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

خطوة 3.1.2.1.19

اجمع $8$ و $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

خطوة 3.1.2.1.20

اضرب $8$ في $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

خطوة 3.1.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

خطوة 3.1.2.2.2

اطرح $128$ من $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

خطوة 3.1.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اكتب $32$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

خطوة 3.1.2.3.2

اضرب $\frac{32}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

خطوة 3.1.2.3.3

اضرب $\frac{32}{1}$ في $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

خطوة 3.1.2.3.4

اضرب $\frac{32}{3}$ في $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 3.1.2.3.5

اضرب $\frac{32}{3}$ في $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

خطوة 3.1.2.3.6

اضرب $3$ في $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $32$ في $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

خطوة 3.1.2.5.2

اضرب $32$ في $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

خطوة 3.1.2.6

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1

اطرح $112$ من $864$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

خطوة 3.1.2.6.2

أضف $752$ و $288$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

خطوة 3.1.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{1040}{27}$ .

$\frac{1040}{27}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{2}{3}$ في $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ هي $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $3$ في $16$ .

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $16$ في $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $24$ في $4$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

خطوة 3.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اطرح $128$ من $48$ .

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

خطوة 3.3.2.2.2

أضف $- 80$ و $96$ .

$f (- 2) = 16 + 32$

خطوة 3.3.2.2.3

أضف $16$ و $32$ .

$f (- 2) = 48$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $48$ .

$48$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ هي $(- 2, 48)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, 48)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $96$ في $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $201.6$ من $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 42.84$ و $48$ .

$f'' (- 2.1) = 5.16$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $5.16$ .

$5.16$

خطوة 5.3

في $- 2.1$ ، المشتق الثاني هو $5.16$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, - \frac{2}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $96$ في $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $128$ من $64$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 64$ و $48$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 16$ .

$- 16$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.\overline{3}$ يساوي $- 16$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 2, - \frac{2}{3})$

تناقص خلال $(- 2, - \frac{2}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{2}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.5\overline{6}$ في العبارة.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 0.5\overline{6}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $36$ في $0.32\overline{1}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $96$ في $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $54.4$ من $11.55\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 42.84$ و $48$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $5.16$ .

$5.16$

خطوة 7.3

في $- 0.5\overline{6}$ ، المشتق الثاني هو $5.16$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{2}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

خطوة 9