حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x)$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} + 24 x - 24$ .

$36 x^{2} + 24 x - 24$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2} + 24 x - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 24 x - 24 = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $12$ من $24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) - 24 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $12$ من $- 24$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) + 12 (- 2) = 0$

خطوة 2.2.4

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2}) + 12 (2 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2) = 0$

خطوة 2.2.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ على $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $3 x^{2} + 2 x - 2$ على $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 2 = \frac{0}{12}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $12$ .

$3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$

خطوة 2.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = 2$ و $c = - 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.3

أضف $4$ و $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.4

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

خطوة 2.6.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.3

أضف $4$ و $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.4

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

خطوة 2.7.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.7.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.7.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

خطوة 2.7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{7})}{3}$

خطوة 2.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.3

أضف $4$ و $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.4

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

خطوة 2.8.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.8.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.8.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.8.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{7})}{3}$

خطوة 2.8.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{7})}{3}$

خطوة 2.8.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0.54858377$ في $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.54858377$ في العبارة.

$f (0.54858377) = 3 {(0.54858377)}^{4} + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ارفع $0.54858377$ إلى القوة $4$ .

$f (0.54858377) = 3 \cdot 0.09056738 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $3$ في $0.09056738$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $0.54858377$ إلى القوة $3$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 \cdot 0.16509307 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $4$ في $0.16509307$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

ارفع $0.54858377$ إلى القوة $2$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 \cdot 0.30094415$

خطوة 3.1.2.1.6

اضرب $- 12$ في $0.30094415$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 3.61132983$

خطوة 3.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أضف $0.27170214$ و $0.66037231$ .

$f (0.54858377) = 0.93207446 - 3.61132983$

خطوة 3.1.2.2.2

اطرح $3.61132983$ من $0.93207446$ .

$f (0.54858377) = - 2.67925537$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2.67925537$ .

$- 2.67925537$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0.54858377$ في $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ هي $(0.54858377, - 2.67925537)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0.54858377, - 2.67925537)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 1.21525043$ في $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.21525043$ في العبارة.

$f (- 1.21525043) = 3 {(- 1.21525043)}^{4} + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 1.21525043$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1.21525043) = 3 \cdot 2.18103755 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $3$ في $2.18103755$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 1.21525043$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 \cdot - 1.7947227 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $4$ في $- 1.7947227$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $- 1.21525043$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 \cdot 1.47683362$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $- 12$ في $1.47683362$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 17.72200349$

خطوة 3.3.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اطرح $7.17889083$ من $6.54311266$ .

$f (- 1.21525043) = - 0.63577816 - 17.72200349$

خطوة 3.3.2.2.2

اطرح $17.72200349$ من $- 0.63577816$ .

$f (- 1.21525043) = - 18.35778166$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 18.35778166$ .

$- 18.35778166$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1.21525043$ في $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ هي $(- 1.21525043, - 18.35778166)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1.21525043, - 18.35778166)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0.54858377, - 2.67925537), (- 1.21525043, - 18.35778166)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1.21525043) \cup (- 1.21525043, 0.54858377) \cup (0.54858377, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1.21525043)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.31525043$ في العبارة.

$f'' (- 1.31525043) = 36 {(- 1.31525043)}^{2} + 24 (- 1.31525043) - 24$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.31525043$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.31525043) = 36 \cdot 1.72988371 + 24 (- 1.31525043) - 24$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $1.72988371$ .

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 + 24 (- 1.31525043) - 24$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $24$ في $- 1.31525043$ .

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 - 31.56601048 - 24$

خطوة 5.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $31.56601048$ من $62.27581363$ .

$f'' (- 1.31525043) = 30.70980314 - 24$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $24$ من $30.70980314$ .

$f'' (- 1.31525043) = 6.70980314$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $6.70980314$ .

$6.70980314$

خطوة 5.3

في $- 1.31525043$ ، المشتق الثاني هو $6.70980314$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 1.21525043)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1.21525043)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.21525043, 0.54858377)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $24$ في $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8 - 24$

خطوة 6.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $8$ من $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4 - 24$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $24$ من $- 4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 28$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 28$ .

$- 28$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.\overline{3}$ يساوي $- 28$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 1.21525043, 0.54858377)$

تناقص خلال $(- 1.21525043, 0.54858377)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0.54858377, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.64858377$ في العبارة.

$f'' (0.64858377) = 36 {(0.64858377)}^{2} + 24 (0.64858377) - 24$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.64858377$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.64858377) = 36 \cdot 0.4206609 + 24 (0.64858377) - 24$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $36$ في $0.4206609$ .

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 24 (0.64858377) - 24$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $24$ في $0.64858377$ .

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 15.56601048 - 24$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $15.14379265$ و $15.56601048$ .

$f'' (0.64858377) = 30.70980314 - 24$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $24$ من $30.70980314$ .

$f'' (0.64858377) = 6.70980314$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $6.70980314$ .

$6.70980314$

خطوة 7.3

في $0.64858377$ ، المشتق الثاني هو $6.70980314$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0.54858377, \infty)$ .

تزايد خلال $(0.54858377, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$ .

$(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$

خطوة 9