حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x^{2}) (9 \sqrt{x} + 5)$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 5] + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 8.3

اجمع $9$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 8.4

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 9

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 10.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل $9$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 10.3.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 11

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 11.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 11.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 11.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 11.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 11.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) (2 x)$

خطوة 13

انقُل $2$ إلى يسار $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$

خطوة 14

جمّع $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ و $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

انقُل $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$

خطوة 14.2

لكتابة $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 14.3

اجمع $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

خطوة 15

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2}$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.2.2

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.3

اضرب $4$ في $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

خطوة 16.2.1.4

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

خطوة 16.2.2

أضف $9 x^{\frac{3}{2}}$ و $36 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

خطوة 16.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 16.4

أخرِج العامل $5 x$ من $20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

أخرِج العامل $5 x$ من $20 x$ .

$\frac{5 x (4) + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 16.4.2

أخرِج العامل $5 x$ من $45 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 16.4.3

أخرِج العامل $5 x$ من $5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{5 x (4 + 9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$