حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{t^{3}}{t^{6} + 3})}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

خطوة 2

اجمع $2$ و $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{3}$ و $g (t) = t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2

انقُل $3$ إلى يسار $t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{6} + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + 0)}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أضف $6 t^{5}$ و $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 4.6.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{3} t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 5

اضرب $t^{3}$ في $t^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $t^{5}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 (t^{5} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{5 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.3

أضف $5$ و $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 6

اضرب $\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3}$ في $\frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{(t^{6} + 3) {(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 7

اضرب $t^{6} + 3$ في ${(t^{6} + 3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $t^{6} + 3$ في ${(t^{6} + 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارفع $t^{6} + 3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1} {(t^{6} + 3)}^{2}}$

خطوة 7.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1 + 2}}$

خطوة 7.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{6} + 3 \cdot 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

اضرب $t^{3}$ في $t^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

انقُل $t^{6}$ .

$\frac{2 (t^{6} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{6 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.1.3

أضف $6$ و $3$ .

$\frac{2 t^{9} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 \cdot 3 t^{9} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.3

اضرب $t^{9}$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.3.1

انقُل $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{9}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 9} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.3.3

أضف $2$ و $9$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.4

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.6

اضرب $t^{3}$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.6.1

انقُل $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.6.3

أضف $2$ و $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.7

اضرب $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.7.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.7.2

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{3} t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.9

اضرب $t^{3}$ في $t^{8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.9.1

انقُل $t^{8}$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 (t^{8} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.9.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{8 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.9.3

أضف $8$ و $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.1.10

اضرب $2$ في $- 6$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} - 12 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.4.2

اطرح $12 t^{11}$ من $6 t^{11}$ .

$\frac{- 6 t^{11} + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.5

أخرِج العامل $6 t^{5}$ من $- 6 t^{11} + 18 t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أخرِج العامل $6 t^{5}$ من $- 6 t^{11}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.5.2

أخرِج العامل $6 t^{5}$ من $18 t^{5}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.5.3

أخرِج العامل $6 t^{5}$ من $6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6} + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- t^{6}$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.7

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) - 1 (- 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{6}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.9

أعِد كتابة $- (t^{6} - 3)$ بالصيغة $- 1 (t^{6} - 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- 1 (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

خطوة 8.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(6 t^{5}) (t^{6} - 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$