حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (z) = (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 z^{3} - z)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = 9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ و $g (z) = 3 z^{3} - z$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [3 z^{3} - z] + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 z^{3} - z$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [3 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $3 z^{3}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $3 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (3 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $- z$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1 \cdot 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [9 z^{4} + 3 z^{2} + 1]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 z^{4} + 3 z^{2} + 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [9 z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $9 z^{4}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $9 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (9 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.11

اضرب $4$ في $9$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + \frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $3 z^{2}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 3 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.14

اضرب $2$ في $3$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 2.15

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z + 0)$

خطوة 2.16

أضف $36 z^{3} + 6 z$ و $0$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $1$ من $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1$ من $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $1$ من $(3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $1$ من $1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1)) + 1 ((3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$ .

$1 ((9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z))$

خطوة 3.2

اضرب $(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$ في $1$ .

$(9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (9 z^{2} - 1) + (3 z^{3} - z) (36 z^{3} + 6 z)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1) + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $(9 z^{2} - 1) (9 z^{4} + 3 z^{2} + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$9 z^{2} (9 z^{4}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$9 \cdot 9 z^{2} z^{4} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $z^{2}$ في $z^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

انقُل $z^{4}$ .

$9 \cdot 9 (z^{4} z^{2}) + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$9 \cdot 9 z^{4 + 2} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.2.3

أضف $4$ و $2$ .

$9 \cdot 9 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $9$ في $9$ .

$81 z^{6} + 9 z^{2} (3 z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2} z^{2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $z^{2}$ في $z^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

انقُل $z^{2}$ .

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 (z^{2} z^{2}) + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{2 + 2} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.5.3

أضف $2$ و $2$ .

$81 z^{6} + 9 \cdot 3 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.6

اضرب $9$ في $3$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} \cdot 1 - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.7

اضرب $9$ في $1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 1 (9 z^{4}) - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.8

اضرب $9$ في $- 1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 1 (3 z^{2}) - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.9

اضرب $3$ في $- 1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 \cdot 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.2.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$81 z^{6} + 27 z^{4} + 9 z^{2} - 9 z^{4} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.3

اطرح $9 z^{4}$ من $27 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 9 z^{2} - 3 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.4

اطرح $3 z^{2}$ من $9 z^{2}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + (36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.5

وسّع $(36 z^{3} + 6 z) (3 z^{3} - z)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3} - z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3} - z)$

خطوة 3.4.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 z^{3} (3 z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3} z^{3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.2

اضرب $z^{3}$ في $z^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.2.1

انقُل $z^{3}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 (z^{3} z^{3}) + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{3 + 3} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.2.3

أضف $3$ و $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 36 \cdot 3 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.3

اضرب $36$ في $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 z^{3} (- z) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{3} z + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.5

اضرب $z^{3}$ في $z$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.5.1

انقُل $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.5.2

اضرب $z$ في $z^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.5.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.5.3

أضف $1$ و $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 36 \cdot - 1 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.6

اضرب $36$ في $- 1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 z (3 z^{3}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z \cdot z^{3} + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.8

اضرب $z$ في $z^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.8.1

انقُل $z^{3}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.8.2

اضرب $z^{3}$ في $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.8.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 (z^{3} z^{1}) + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{3 + 1} + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.8.3

أضف $3$ و $1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 6 \cdot 3 z^{4} + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.9

اضرب $6$ في $3$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 z (- z)$

خطوة 3.4.6.1.10

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z \cdot z$

خطوة 3.4.6.1.11

اضرب $z$ في $z$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.11.1

انقُل $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 (z \cdot z)$

خطوة 3.4.6.1.11.2

اضرب $z$ في $z$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} + 6 \cdot - 1 z^{2}$

خطوة 3.4.6.1.12

اضرب $6$ في $- 1$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 36 z^{4} + 18 z^{4} - 6 z^{2}$

خطوة 3.4.6.2

أضف $- 36 z^{4}$ و $18 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$

خطوة 3.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $81 z^{6} + 18 z^{4} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 18 z^{4} - 6 z^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $18 z^{4}$ من $18 z^{4}$ .

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} + 0 - 6 z^{2}$

خطوة 3.5.2

أضف $81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6}$ و $0$ .

$81 z^{6} + 6 z^{2} - 1 + 108 z^{6} - 6 z^{2}$

خطوة 3.5.3

اطرح $6 z^{2}$ من $6 z^{2}$ .

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6} + 0$

خطوة 3.5.4

أضف $81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$ و $0$ .

$81 z^{6} - 1 + 108 z^{6}$

خطوة 3.6

أضف $81 z^{6}$ و $108 z^{6}$ .

$189 z^{6} - 1$