حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{5} - 5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = 8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $5$ في $8$ .

$f' (x) = 40 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $- 5$ .

$f' (x) = 40 x^{4} - 20 x^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $40 x^{4} - 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [40 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (40 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [40 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $40$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $40 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $40 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 40 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $4$ في $40$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $- 20$ .

$f'' (x) = 160 x^{3} - 60 x^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $160 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$160 x^{3} - 60 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $20 x^{2}$ من $160 x^{3} - 60 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $20 x^{2}$ من $160 x^{3}$ .

$20 x^{2} (8 x) - 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $20 x^{2}$ من $- 60 x^{2}$ .

$20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $20 x^{2}$ من $20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3)$ .

$20 x^{2} (8 x - 3) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$8 x - 3 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $8 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $8 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$8 x - 3 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $8 x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$8 x = 3$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $8 x = 3$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $8 x = 3$ على $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3}{8}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $20 x^{2} (8 x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{3}{8}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 8 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 8 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $8$ في $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 5$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\frac{3}{8}$ في $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = 8 {(\frac{3}{8})}^{5} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{5}}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $8$ إلى القوة $5$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{32768}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $8$ من $32768$ .

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 (4096)}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 \cdot 4096}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{3^{4}}{8^{4}}$

خطوة 3.3.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{81}{8^{4}}$

خطوة 3.3.2.1.7

ارفع $8$ إلى القوة $4$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 (\frac{81}{4096})$

خطوة 3.3.2.1.8

اضرب $- 5 (\frac{81}{4096})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.8.1

اجمع $- 5$ و $\frac{81}{4096}$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 5 \cdot 81}{4096}$

خطوة 3.3.2.1.8.2

اضرب $- 5$ في $81$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 405}{4096}$

خطوة 3.3.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - \frac{405}{4096}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243 - 405}{4096}$

خطوة 3.3.2.2.2

اطرح $405$ من $243$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 162}{4096}$

خطوة 3.3.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 162$ و $4096$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 162$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 (- 81)}{4096}$

خطوة 3.3.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4096$ .

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

خطوة 3.3.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

خطوة 3.3.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 81}{2048}$

خطوة 3.3.2.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3}{8}) = - \frac{81}{2048}$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{81}{2048}$ .

$- \frac{81}{2048}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{3}{8}$ في $f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ هي $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{8}) \cup (\frac{3}{8}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 160 {(- 0.1)}^{3} - 60 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = 160 \cdot - 0.001 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $160$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 \cdot 0.01$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 60$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 0.6$

خطوة 5.2.2

اطرح $0.6$ من $- 0.16$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.76$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.76$ .

$- 0.76$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.76$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{3}{8})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1875$ في العبارة.

$f'' (0.1875) = 160 {(0.1875)}^{3} - 60 {(0.1875)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $0.1875$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1875) = 160 \cdot 0.00659179 - 60 {(0.1875)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $160$ في $0.00659179$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 {(0.1875)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $0.1875$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 \cdot 0.03515625$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 60$ في $0.03515625$ .

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 2.109375$

خطوة 6.2.2

اطرح $2.109375$ من $1.0546875$ .

$f'' (0.1875) = - 1.0546875$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.0546875$ .

$- 1.0546875$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.1875$ يساوي $- 1.0546875$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \frac{3}{8})$

تناقص خلال $(0, \frac{3}{8})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3}{8}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.475$ في العبارة.

$f'' (0.475) = 160 {(0.475)}^{3} - 60 {(0.475)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.475$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.475) = 160 \cdot 0.10717187 - 60 {(0.475)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $160$ في $0.10717187$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 {(0.475)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $0.475$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 \cdot 0.225625$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 60$ في $0.225625$ .

$f'' (0.475) = 17.1475 - 13.5375$

خطوة 7.2.2

اطرح $13.5375$ من $17.1475$ .

$f'' (0.475) = 3.61$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $3.61$ .

$3.61$

خطوة 7.3

في $0.475$ ، المشتق الثاني هو $3.61$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{3}{8}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{3}{8}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ .

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

خطوة 9