حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{3} - 3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $5$ في $- 3$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 15 x^{4}$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 15 x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 15 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $4$ في $- 15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 (2 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 x$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $h (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 60 x^{3} + 30 x$ .

$- 60 x^{3} + 30 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 60 x^{3} + 30 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 60 x^{3} + 30 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $- 30 x$ من $- 60 x^{3} + 30 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 30 x$ من $- 60 x^{3}$ .

$- 30 x (2 x^{2}) + 30 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $- 30 x$ من $30 x$ .

$- 30 x (2 x^{2}) - 30 x \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $- 30 x$ من $- 30 x (2 x^{2}) - 30 x (- 1)$ .

$- 30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $2 x^{2} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $2 x^{2} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x^{2} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{2} = 1$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.5.2.4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.5.2.4.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 2.5.2.4.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.5.2.4.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.5.2.4.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.2.4.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.2.4.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 2.5.2.4.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.5.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.5.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.5.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $h (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$h (0) = 5 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$h (0) = 5 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$h (0) = 0 - 3 {(0)}^{5}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$h (0) = 0 - 3 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 3$ في $0$ .

$h (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$h (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $h (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $h (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في العبارة.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.2.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{2 (\sqrt{2})}{8}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.5

اجمع $5$ و $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.3.2.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}$

خطوة 3.3.2.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.7.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{5}$ بالصيغة $\sqrt{2^{5}}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}$

خطوة 3.3.2.1.7.2

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}$

خطوة 3.3.2.1.7.3

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.7.3.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}$

خطوة 3.3.2.1.7.3.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}$

خطوة 3.3.2.1.7.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}$

خطوة 3.3.2.1.8

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{4 \sqrt{2}}{32}$

خطوة 3.3.2.1.9

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{4 (\sqrt{2})}{32}$

خطوة 3.3.2.1.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.9.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}$

خطوة 3.3.2.1.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}$

خطوة 3.3.2.1.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 \frac{\sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.1.10

اجمع $- 3$ و $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اضرب $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} - \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2 - 3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $2$ في $5$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.5.2

اطرح $3 \sqrt{2}$ من $10 \sqrt{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$ .

$\frac{7 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $h (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ هي $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ في $h (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ في العبارة.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.3.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.3.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.3.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.6

اضرب $5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.6.2

اجمع $- 5$ و $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(5) \sqrt{2}}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.8

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.8.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5})$

خطوة 3.5.2.1.8.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}))$

خطوة 3.5.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})$

خطوة 3.5.2.1.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.10.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{5}$ بالصيغة $\sqrt{2^{5}}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}})$

خطوة 3.5.2.1.10.2

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}})$

خطوة 3.5.2.1.10.3

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.10.3.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}})$

خطوة 3.5.2.1.10.3.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}})$

خطوة 3.5.2.1.10.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}})$

خطوة 3.5.2.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32})$

خطوة 3.5.2.1.12

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.12.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32})$

خطوة 3.5.2.1.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.12.2.1

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8})$

خطوة 3.5.2.1.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8})$

خطوة 3.5.2.1.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$

خطوة 3.5.2.1.13

اضرب $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.13.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{8})$

خطوة 3.5.2.1.13.2

اجمع $3$ و $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.2

لكتابة $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

اضرب $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \sqrt{2} \cdot 2 + 3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

اضرب $2$ في $- 5$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 10 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.5.2

أضف $- 10 \sqrt{2}$ و $3 \sqrt{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$h (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.5.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{7 \sqrt{2}}{8}$ .

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ في $h (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ هي $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.80710678$ في العبارة.

$h'' (- 0.80710678) = - 60 {(- 0.80710678)}^{3} + 30 (- 0.80710678)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 0.80710678$ إلى القوة $3$ .

$h'' (- 0.80710678) = - 60 \cdot - 0.52576659 + 30 (- 0.80710678)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 60$ في $- 0.52576659$ .

$h'' (- 0.80710678) = 31.54599564 + 30 (- 0.80710678)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $30$ في $- 0.80710678$ .

$h'' (- 0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

خطوة 5.2.2

اطرح $24.21320343$ من $31.54599564$ .

$h'' (- 0.80710678) = 7.3327922$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $7.3327922$ .

$7.3327922$

خطوة 5.3

في $- 0.80710678$ ، المشتق الثاني هو $7.3327922$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ نظرًا إلى أن $h'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.35355339$ في العبارة.

$h'' (- 0.35355339) = - 60 {(- 0.35355339)}^{3} + 30 (- 0.35355339)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.35355339$ إلى القوة $3$ .

$h'' (- 0.35355339) = - 60 \cdot - 0.04419417 + 30 (- 0.35355339)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 60$ في $- 0.04419417$ .

$h'' (- 0.35355339) = 2.65165042 + 30 (- 0.35355339)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $30$ في $- 0.35355339$ .

$h'' (- 0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

خطوة 6.2.2

اطرح $10.60660171$ من $2.65165042$ .

$h'' (- 0.35355339) = - 7.95495128$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 7.95495128$ .

$- 7.95495128$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.35355339$ يساوي $- 7.95495128$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$

تناقص خلال $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ حيث إن $h'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.35355339$ في العبارة.

$h'' (0.35355339) = - 60 {(0.35355339)}^{3} + 30 (0.35355339)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.35355339$ إلى القوة $3$ .

$h'' (0.35355339) = - 60 \cdot 0.04419417 + 30 (0.35355339)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 60$ في $0.04419417$ .

$h'' (0.35355339) = - 2.65165042 + 30 (0.35355339)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $30$ في $0.35355339$ .

$h'' (0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

خطوة 7.2.2

أضف $- 2.65165042$ و $10.60660171$ .

$h'' (0.35355339) = 7.95495128$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $7.95495128$ .

$7.95495128$

خطوة 7.3

في $0.35355339$ ، المشتق الثاني هو $7.95495128$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

تزايد خلال $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ نظرًا إلى أن $h'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.80710678$ في العبارة.

$h'' (0.80710678) = - 60 {(0.80710678)}^{3} + 30 (0.80710678)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.80710678$ إلى القوة $3$ .

$h'' (0.80710678) = - 60 \cdot 0.52576659 + 30 (0.80710678)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 60$ في $0.52576659$ .

$h'' (0.80710678) = - 31.54599564 + 30 (0.80710678)$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $30$ في $0.80710678$ .

$h'' (0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

خطوة 8.2.2

أضف $- 31.54599564$ و $24.21320343$ .

$h'' (0.80710678) = - 7.3327922$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 7.3327922$ .

$- 7.3327922$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $0.80710678$ يساوي $- 7.3327922$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

تناقص خلال $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ حيث إن $h'' (x) < 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8}), (0, 0), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8}), (0, 0), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8})$

خطوة 10