حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + \frac{128}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + \frac{128}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $128$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{128}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

خطوة 1.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 128 (- x^{- 2})$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $- 1$ في $128$ .

$f' (x) = 2 x - 128 x^{- 2}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 128 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

اجمع $- 128$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 128}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 2 x - \frac{128}{x^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, x^{2}, 1$

خطوة 2.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{2}$

خطوة 2.3

اضرب كل حد في $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب كل حد في $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ في $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{128}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $0$ في $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 128 = 0$

خطوة 2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $128$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{3} = 128$

خطوة 2.4.2

اطرح $128$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{3} - 128 = 0$

خطوة 2.4.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3} - 128$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 128 = 0$

خطوة 2.4.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 128$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 64 = 0$

خطوة 2.4.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3} + 2 \cdot - 64$ .

$2 (x^{3} - 64) = 0$

خطوة 2.4.3.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $4^{3}$ .

$2 (x^{3} - 4^{3}) = 0$

خطوة 2.4.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

خطوة 2.4.3.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.4.1.1

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

خطوة 2.4.3.4.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

خطوة 2.4.3.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

خطوة 2.4.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

خطوة 2.4.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.4.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.4.6

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 4 x + 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

عيّن قيمة $x^{2} + 4 x + 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

خطوة 2.4.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.4.6.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = 16$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.3

اطرح $64$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 48$ بالصيغة $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (48)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.7

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.4.6.2.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.6.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.4.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.3

اطرح $64$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 48$ بالصيغة $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (48)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.7

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.4.6.2.4.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.6.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.6.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.5.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.3

اطرح $64$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 48$ بالصيغة $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (48)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.7

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.4.6.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.4.6.2.5.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.6.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.6.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

خطوة 2.4.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{128}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة $x^{2} + \frac{128}{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

${(4)}^{2} + \frac{128}{4}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$16 + \frac{128}{4}$

خطوة 4.1.2.1.2

اقسِم $128$ على $4$ .

$16 + 32$

خطوة 4.1.2.2

أضف $16$ و $32$ .

$48$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{128}{0}$

خطوة 4.2.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(4, 48)$

خطوة 5