حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x + 2 \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $1 - 2 \sin (x)$ .

$1 - 2 \sin (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $1 - 2 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (x) = - 1$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

خطوة 2.6

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{6}$

خطوة 2.7

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 2.7.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 2.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 2.7.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

خطوة 2.8

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.8.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.9

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $x + 2 \cos (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{6}$ .

$(\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{6} + \sqrt{3}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{13 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{13 π}{6}$ .

$(\frac{13 π}{6}) + 2 \cos (\frac{13 π}{6})$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{13 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 4.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{13 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{13 π}{6} + \sqrt{3}$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{25 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{25 π}{6}$ .

$(\frac{25 π}{6}) + 2 \cos (\frac{25 π}{6})$

خطوة 4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{25 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 4.3.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.3.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{25 π}{6} + \sqrt{3}$

خطوة 4.4

احسِب القيمة في $x = \frac{37 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{37 π}{6}$ .

$(\frac{37 π}{6}) + 2 \cos (\frac{37 π}{6})$

خطوة 4.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{37 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 4.4.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{37 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{37 π}{6} + \sqrt{3}$

خطوة 4.5

احسِب القيمة في $x = \frac{49 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{49 π}{6}$ .

$(\frac{49 π}{6}) + 2 \cos (\frac{49 π}{6})$

خطوة 4.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{49 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 4.5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{49 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.5.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{49 π}{6} + \sqrt{3}$

خطوة 4.6

احسِب القيمة في $x = \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{5 π}{6}$ .

$(\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

خطوة 4.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.6.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.6.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.6.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

خطوة 4.7

احسِب القيمة في $x = \frac{17 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{17 π}{6}$ .

$(\frac{17 π}{6}) + 2 \cos (\frac{17 π}{6})$

خطوة 4.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{17 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

خطوة 4.7.2.2

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.7.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{17 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.7.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{17 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.7.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{17 π}{6} - \sqrt{3}$

خطوة 4.8

احسِب القيمة في $x = \frac{29 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{29 π}{6}$ .

$(\frac{29 π}{6}) + 2 \cos (\frac{29 π}{6})$

خطوة 4.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{29 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

خطوة 4.8.2.2

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.8.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{29 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.8.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{29 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.8.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{29 π}{6} - \sqrt{3}$

خطوة 4.9

احسِب القيمة في $x = \frac{41 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{41 π}{6}$ .

$(\frac{41 π}{6}) + 2 \cos (\frac{41 π}{6})$

خطوة 4.9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{41 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

خطوة 4.9.2.2

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.9.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{41 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.9.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.9.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{41 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.9.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{41 π}{6} - \sqrt{3}$

خطوة 4.10

احسِب القيمة في $x = \frac{53 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{53 π}{6}$ .

$(\frac{53 π}{6}) + 2 \cos (\frac{53 π}{6})$

خطوة 4.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{53 π}{6} + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

خطوة 4.10.2.2

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.10.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{53 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.10.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.10.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{53 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.10.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{53 π}{6} - \sqrt{3}$

خطوة 4.11

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{13 π}{6}, \frac{13 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{25 π}{6}, \frac{25 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{37 π}{6}, \frac{37 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{49 π}{6}, \frac{49 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{17 π}{6}, \frac{17 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{29 π}{6}, \frac{29 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{41 π}{6}, \frac{41 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{53 π}{6}, \frac{53 π}{6} - \sqrt{3})$

خطوة 5