حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x - \tan (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.1.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- \sec^{2} (x) = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- \sec^{2} (x) = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.3.2.2

اقسِم $\sec^{2} (x)$ على $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

خطوة 2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

خطوة 2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

خطوة 2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 2.6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

خطوة 2.7

أوجِد قيمة $x$ في $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل القاطع.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

خطوة 2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (\sqrt{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 2.7.3

دالة القاطع موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

خطوة 2.7.4

بسّط $2 π - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.7.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.7.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 2.7.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

خطوة 2.7.4.3.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 2.7.5

أوجِد فترة $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.7.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.7.6

فترة دالة $\sec (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.8

أوجِد قيمة $x$ في $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل القاطع.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

خطوة 2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (- \sqrt{2})$ هي $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.8.3

دالة القاطع سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.8.4

بسّط $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.8.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.8.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

خطوة 2.8.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

خطوة 2.8.4.3.2

اطرح $3 π$ من $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 2.8.5

أوجِد فترة $\sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.8.6

فترة دالة $\sec (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.9

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.10

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\sec (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 x - \tan (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{4}$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

خطوة 4.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

خطوة 4.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

خطوة 4.2.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الثاني.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 4.2.2.4

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

خطوة 4.2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{5 π}{4}$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.3.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.3.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 4.3.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

خطوة 4.4

احسِب القيمة في $x = \frac{7 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{7 π}{4}$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

خطوة 4.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

خطوة 4.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

خطوة 4.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

خطوة 4.4.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الرابع.

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.4.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 4.4.2.4

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

خطوة 4.4.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

خطوة 4.5

احسِب القيمة في $x = \frac{9 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{9 π}{4}$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

خطوة 4.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

خطوة 4.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

خطوة 4.5.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

خطوة 4.5.2.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.5.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 4.5.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

خطوة 4.6

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

خطوة 5