حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(6 - 2 x)}^{2}$ بالصيغة $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

خطوة 1.1.2

وسّع $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $6$ في $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $- 2$ في $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $6$ في $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

خطوة 1.1.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

خطوة 1.1.3.1.6

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $12 x$ من $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $36 - 24 x + 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.2

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.4

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.6

اضرب $- 24$ في $1$ .

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.9

اضرب $2$ في $4$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

خطوة 1.1.5.11

اضرب $36 - 24 x + 4 x^{2}$ في $1$ .

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

انقُل $- 24$ إلى يسار $x$ .

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6.2.6

اطرح $24 x$ من $- 24 x$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

خطوة 1.1.6.2.7

أضف $8 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

خطوة 1.1.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $12$ من $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $12$ من $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $12$ من $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 4 x + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $- 4$ .

$- 3, - 1$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 3, 1$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $x {(6 - 2 x)}^{2}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$3 {(6 - 6)}^{2}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $6$ من $6$ .

$3 \cdot 0^{2}$

خطوة 4.1.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $3$ في $0$ .

$0$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب ${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ في $1$ .

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

${(6 - 2)}^{2}$

خطوة 4.2.2.3

اطرح $2$ من $6$ .

$4^{2}$

خطوة 4.2.2.4

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$16$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(3, 0), (1, 16)$

خطوة 5