حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x \ln (x + 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اجمع $\frac{1}{x + 3}$ و $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.5.2

اضرب $\frac{x}{x + 3}$ في $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.7

اضرب $\ln (x + 3)$ في $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

خطوة 1.1.4

لكتابة $\ln (x + 3)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

خطوة 1.1.6.1.1.2

اضرب $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1.2.1

أعِد ترتيب $\ln (x + 3)$ و $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.6.1.1.2.2

بسّط $3 \cdot \ln (x + 3)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

خطوة 1.1.6.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

خطوة 1.1.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

خطوة 2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx - 1.14544928$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x + 3 = 0$

خطوة 3.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 3.3

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x + 3)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x + 3 \leq 0$

خطوة 3.4

اطرح $3$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \leq - 3$

خطوة 3.5

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln ({(x + 3)}^{3})$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.6.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 3.6.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x + 3 \leq 0$

خطوة 3.6.3

اطرح $3$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \leq - 3$

خطوة 3.7

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

خطوة 4

احسِب قيمة $x \ln (x + 3)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - 1.14544928$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1.14544928$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أضف $- 1.14544928$ و $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

خطوة 4.1.2.2

بسّط $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ بنقل $1.14544928$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

خطوة 4.1.2.3

ارفع $1.85455071$ إلى القوة $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $- 3$ و $3$ .

$- 3 \ln (0)$

خطوة 4.2.2.2

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

خطوة 5