حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.7.3

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 1.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 1.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 1.1.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

خطوة 1.1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 1.1.11.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

خطوة 4.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

خطوة 4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.4

بسّط.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.6

اضرب $4$ في $1$ .

$4 x + 4 = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 x + 4 = 0$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$4 x = - 4$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم كل حد في $4 x = - 4$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = - 4$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

خطوة 4.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

خطوة 4.3.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

خطوة 4.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $4$ .

$x = - 1$

خطوة 4.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x + 1}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x + 1 < 0$

خطوة 4.5

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$x < - 1$

خطوة 4.6

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \sqrt{x + 1}$ هو $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {((- 2) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $- 2$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2.1.2

أعِد كتابة ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

خطوة 6.2.1.3

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i}$

خطوة 6.2.2

اضرب بسط وقاسم $\frac{1}{2 i}$ في مرافق $2 i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

خطوة 6.2.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اجمع.

$f' (- 2) = \frac{1 i}{2 i i}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $i$ في $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i i}$

خطوة 6.2.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.3.1

أضف الأقواس.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

خطوة 6.2.3.3.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

خطوة 6.2.3.3.3

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

خطوة 6.2.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

خطوة 6.2.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{2}}$

خطوة 6.2.3.3.6

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 \cdot - 1}$

خطوة 6.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{- 2}$

خطوة 6.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = - \frac{i}{2}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{i}{2}$ .

$- \frac{i}{2}$

خطوة 6.3

المشتق يساوي $- \frac{i}{2}$ عند $x = - 2$ . وبما أن العبارة تحتوي على عدد تخيّلي، إذن الدالة غير موجودة في $(- \infty, - 1)$ .

الدالة ليست حقيقية في $(- \infty, - 1)$ بما أن $f' (x)$ عدد تخيّلي

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0$ هو $\frac{1}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 1, \infty)$

خطوة 9