حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

خطوة 1.1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{2}$ من $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{2}$ من $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

خطوة 1.1.4.1.2

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{2}$ من $2 {(x + 3)}^{3} x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.1.3

أخرِج العامل $x {(x + 3)}^{2}$ من $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.3

أعِد كتابة ${(x + 3)}^{2}$ بالصيغة $(x + 3) (x + 3)$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.4

وسّع $(x + 3) (x + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.5.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.5.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.5.2

أضف $3 x$ و $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.7.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.7.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.7.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.7.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.7.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.7.3

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.8

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1

انقُل $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

خطوة 1.1.4.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

خطوة 1.1.4.9.2

اضرب $2$ في $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

خطوة 1.1.4.10

أضف $3 x$ و $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

خطوة 1.1.4.11

وسّع $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.2.1

انقُل $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.2.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.2.3

أضف $1$ و $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.3

انقُل $6$ إلى يسار $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.5.1

انقُل $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.6

اضرب $6$ في $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.7

اضرب $6$ في $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.9

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.9.1

انقُل $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.9.2

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.10

اضرب $9$ في $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

خطوة 1.1.4.12.11

اضرب $6$ في $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

خطوة 1.1.4.13

أضف $6 x^{3}$ و $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

خطوة 1.1.4.14

أضف $36 x^{2}$ و $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x^{4}$ .

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $36 x^{3}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $81 x^{2}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $54 x$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

خطوة 2.2.1.6

أخرِج العامل $x$ من $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

خطوة 2.2.1.7

أخرِج العامل $x$ من $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

خطوة 2.2.2.3

عوّض بـ $- 3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

عوّض بـ $- 3$ في متعدد الحدود.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

خطوة 2.2.2.3.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

خطوة 2.2.2.3.3

اضرب $5$ في $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

خطوة 2.2.2.3.4

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

خطوة 2.2.2.3.5

اضرب $36$ في $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

خطوة 2.2.2.3.6

أضف $- 135$ و $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

خطوة 2.2.2.3.7

اضرب $81$ في $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

خطوة 2.2.2.3.8

اطرح $243$ من $189$ .

$- 54 + 54$

خطوة 2.2.2.3.9

أضف $- 54$ و $54$ .

$0$

خطوة 2.2.2.4

بما أن $- 3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

خطوة 2.2.2.5

اقسِم $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ على $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

خطوة 2.2.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $5 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

خطوة 2.2.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

خطوة 2.2.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $5 x^{3} + 15 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

خطوة 2.2.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

خطوة 2.2.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

خطوة 2.2.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $21 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

خطوة 2.2.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

خطوة 2.2.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $21 x^{2} + 63 x$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

خطوة 2.2.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

خطوة 2.2.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

خطوة 2.2.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $18 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

خطوة 2.2.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

خطوة 2.2.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $18 x + 54$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

خطوة 2.2.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

خطوة 2.2.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

خطوة 2.2.2.6

اكتب $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ في صورة مجموعة من العوامل.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

خطوة 2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ ومجموعهما $b = 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1.1.1

أخرِج العامل $21$ من $21 x$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

خطوة 2.2.3.1.1.1.2

أعِد كتابة $21$ في صورة $6$ زائد $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

خطوة 2.2.3.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

خطوة 2.2.3.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

خطوة 2.2.3.1.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

خطوة 2.2.3.1.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

خطوة 2.2.3.1.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

خطوة 2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

خطوة 2.2.4

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

ارفع $x + 3$ إلى القوة $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

خطوة 2.2.4.2

ارفع $x + 3$ إلى القوة $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

خطوة 2.2.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

خطوة 2.2.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x + 3)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة ${(x + 3)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 3)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $5 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $5 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x + 6 = 0$

خطوة 2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$5 x = - 6$

خطوة 2.6.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = - 6$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = - 6$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

خطوة 2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

خطوة 2.6.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

خطوة 2.6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{6}{5}$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $5$ في $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $36$ في $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

خطوة 5.2.1.5

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $81$ في $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

خطوة 5.2.1.7

اضرب $54$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $2304$ من $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 1024$ و $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

خطوة 5.2.2.3

اطرح $216$ من $272$ .

$f' (- 4) = 56$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $56$ .

$56$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 4$ هو $56$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 3)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 3)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, - \frac{6}{5})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $5$ في $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $36$ في $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $81$ في $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

خطوة 6.2.1.7

اضرب $54$ في $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $333.396$ من $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 236.1555$ و $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

خطوة 6.2.2.3

اطرح $113.4$ من $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $7.6545$ .

$7.6545$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 2.1$ هو $7.6545$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 3, - \frac{6}{5})$ .

تزايد خلال $(- 3, - \frac{6}{5})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.2, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.6$ في العبارة.

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 0.6$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $5$ في $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 0.6$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $36$ في $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

خطوة 7.2.1.5

ارفع $- 0.6$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $81$ في $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $54$ في $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $7.776$ من $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 7.128$ و $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

خطوة 7.2.2.3

اطرح $32.4$ من $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 10.368$ .

$- 10.368$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 0.6$ هو $- 10.368$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1.2, 0)$ .

تناقص خلال $(- \frac{6}{5}, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

خطوة 8.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $36$ في $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

خطوة 8.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

خطوة 8.2.1.6

اضرب $81$ في $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

خطوة 8.2.1.7

اضرب $54$ في $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

خطوة 8.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $5$ و $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

خطوة 8.2.2.2

أضف $41$ و $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

خطوة 8.2.2.3

أضف $122$ و $54$ .

$f' (1) = 176$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $176$ .

$176$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1$ هو $176$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \frac{6}{5}, 0)$

خطوة 10