حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.2.5.2

اطرح $3$ من $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 1.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 1.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 1.1.3.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 1.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 1.1.3.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 1.1.3.9

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.4

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

خطوة 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}$ .

خطوة 2.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.2.4

بما أن $3$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $3$ .

$3$ هي عدد أولي

خطوة 2.2.5

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.2.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $3, 3, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$3$

خطوة 2.2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{\frac{2}{3}}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $3$ في الجزء المتغير.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2.3

اضرب كل حد في $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ في $3 x^{\frac{2}{3}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب كل حد في $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ في $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.3

اضرب $x^{\frac{1}{3}}$ في $x^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

انقُل $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.3.4

أضف $2$ و $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.3.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$4 x^{1} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.4

بسّط $4 x^{1}$ .

$4 x - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ إلى بسط الكسر.

$4 x + \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x + \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x - 1 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$4 x - 1 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2.3.3.1.2

اضرب $0$ في $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x - 1 = 0$

خطوة 2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x = 1$

خطوة 2.4.2

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.1.2

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

خطوة 4.1.3

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

خطوة 4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$27 x^{2} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$27 x^{2} = 0$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم كل حد في $27 x^{2} = 0$ على $27$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

اقسِم كل حد في $27 x^{2} = 0$ على $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.3.3.1.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

خطوة 4.3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $27$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.3.3.3

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.3.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.3.3.3.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 6.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 6.2.1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3 \cdot 1}$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 1) = \frac{- 4 - 1}{3}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اطرح $1$ من $- 4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

خطوة 6.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{5}{3}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{1}{4})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.125$ في العبارة.

$f' (0.125) = \frac{4 {(0.125)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.125$ إلى القوة $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{4 \cdot 0.5}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $4$ في $0.5$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.3.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $1 (2)$ .

$f' (0.125) = \frac{1 (2)}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.3.2.1

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $1 (3)$ .

$f' (0.125) = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (0.125) = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 {(0.125)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $0.125$ إلى القوة $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3 \cdot 0.25}$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $3$ في $0.25$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - \frac{1}{0.75}$

خطوة 7.2.1.6

اقسِم $1$ على $0.75$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - 1 \cdot 1.\overline{3}$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $- 1$ في $1.\overline{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - 1.\overline{3}$

خطوة 7.2.2

لكتابة $- 1.\overline{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} - 1.\overline{3} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 7.2.3

اجمع $- 1.\overline{3}$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (0.125) = \frac{2}{3} + \frac{- 1.\overline{3} \cdot 3}{3}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (0.125) = \frac{2 - 1.\overline{3} \cdot 3}{3}$

خطوة 7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $- 1.\overline{3}$ في $3$ .

$f' (0.125) = \frac{2 - 4}{3}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $4$ من $2$ .

$f' (0.125) = \frac{- 2}{3}$

خطوة 7.2.6

اقسِم $- 2$ على $3$ .

$f' (0.125) = - 0.\overline{6}$

خطوة 7.2.7

الإجابة النهائية هي $- 0.\overline{6}$ .

$- 0.\overline{6}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0.125$ هو $- 0.\overline{6}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \frac{1}{4})$ .

تناقص خلال $(0, \frac{1}{4})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{1}{4}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.25$ في العبارة.

$f' (1.25) = \frac{4 {(1.25)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $1.25$ إلى القوة $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.25) = \frac{4 \cdot 1.07721734}{3} - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $4$ في $1.07721734$ .

$f' (1.25) = \frac{4.30886938}{3} - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 8.2.1.3

اقسِم $4.30886938$ على $3$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - \frac{1}{3 {(1.25)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 8.2.1.4

ارفع $1.25$ إلى القوة $\frac{2}{3}$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - \frac{1}{3 \cdot 1.1603972}$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $3$ في $1.1603972$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - \frac{1}{3.48119162}$

خطوة 8.2.1.6

اقسِم $1$ على $3.48119162$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - 1 \cdot 0.28725795$

خطوة 8.2.1.7

اضرب $- 1$ في $0.28725795$ .

$f' (1.25) = 1.43628979 - 0.28725795$

خطوة 8.2.2

اطرح $0.28725795$ من $1.43628979$ .

$f' (1.25) = 1.14903183$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $1.14903183$ .

$1.14903183$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1.25$ هو $1.14903183$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{1}{4}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(\frac{1}{4}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (0, \frac{1}{4})$

خطوة 10