حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 63}{x - 8}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 63$ و $g (x) = x - 8$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) \frac{d}{d x} (x^{2} - 63) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 63$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63)) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} (- 63)) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 63$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 63$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x + 0) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 8$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 8) x) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 8) x - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.1.3

اضرب $- 1$ في $- 63$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 x + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

حلّل $x^{2} - 16 x + 63$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $63$ ومجموعهما $- 16$ .

$- 9, - 7$

خطوة 1.1.3.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(x - 9) (x - 7) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 7 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 2.3.2.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 9) (x - 7) = 0$ صحيحة.

$x = 9, 7$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $9, 7$ .

$9, 7$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 8)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 7) \cup (7, 8) \cup (8, 9) \cup (9, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 7)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = \frac{((6) - 9) ((6) - 7)}{{((6) - 8)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اطرح $9$ من $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 (6 - 7)}{{(6 - 8)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $7$ من $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(6 - 8)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $8$ من $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

خطوة 6.2.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f' (6) = \frac{3}{4}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 6$ هو $\frac{3}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 7)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 7)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(7, 8)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{15}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{((\frac{15}{2}) - 9) ((\frac{15}{2}) - 7)}{{((\frac{15}{2}) - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

لكتابة $- 9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{(\frac{15}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اجمع $- 9$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{(\frac{15}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}) (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{15 - 9 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

اضرب $- 9$ في $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{15 - 18}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.4.2

اطرح $18$ من $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.6

لكتابة $- 7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.7

اجمع $- 7$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{15 - 7 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.9.1

اضرب $- 7$ في $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{15 - 14}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.9.2

اطرح $14$ من $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.10

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

لكتابة $- 8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15 - 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.4.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15 - 16}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4.2

اطرح $16$ من $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.6

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

خطوة 7.2.2.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

خطوة 7.2.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

خطوة 7.2.2.11

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

خطوة 7.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{4}$ إلى بسط الكسر.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

خطوة 7.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

خطوة 7.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{15}{2}) = - 3$

خطوة 7.2.5

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 7.3

المشتق في $x = \frac{15}{2}$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(7, 8)$ .

تناقص خلال $(7, 8)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(8, 9)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{17}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 9) ((\frac{17}{2}) - 7)}{{((\frac{17}{2}) - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

لكتابة $- 9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اجمع $- 9$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 9 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.4.1

اضرب $- 9$ في $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 18}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4.2

اطرح $18$ من $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.6

لكتابة $- 7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.7

اجمع $- 7$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{17 - 7 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.9.1

اضرب $- 7$ في $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{17 - 14}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9.2

اطرح $14$ من $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.10

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.10.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

لكتابة $- 8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 16}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4.2

اطرح $16$ من $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

خطوة 8.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

خطوة 8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{4}$ إلى بسط الكسر.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

خطوة 8.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

خطوة 8.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

خطوة 8.2.5

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{17}{2}$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(8, 9)$ .

تناقص خلال $(8, 9)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(9, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $10$ في العبارة.

$f' (10) = \frac{((10) - 9) ((10) - 7)}{{((10) - 8)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اطرح $9$ من $10$ .

$f' (10) = \frac{1 (10 - 7)}{{(10 - 8)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $10 - 7$ في $1$ .

$f' (10) = \frac{10 - 7}{{(10 - 8)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3

اطرح $7$ من $10$ .

$f' (10) = \frac{3}{{(10 - 8)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اطرح $8$ من $10$ .

$f' (10) = \frac{3}{2^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (10) = \frac{3}{4}$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 10$ هو $\frac{3}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(9, \infty)$ .

تزايد خلال $(9, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 7), (9, \infty)$

تناقص خلال: $(7, 8), (8, 9)$

خطوة 11