حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 4) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2

اطرح $2 x^{4}$ من $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4} - 12 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.4.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.4.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.6.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

خطوة 1.1.6.5.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{2} (x^{2} - 12) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.3.2.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.3.2.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.3.2.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 12$

خطوة 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

خطوة 2.3.3.2.3

بسّط $\pm \sqrt{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

خطوة 2.3.3.2.3.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2 \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2 \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x^{2} (x^{2} - 12) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$ .

$0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

عيّن قيمة العبارة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

عيّن قيمة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 4.2.2.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 4.2.3.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 4.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 2$

خطوة 4.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 2, x = 2$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4.4641016$ في العبارة.

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} ({(- 4.4641016)}^{2} - 12)}{{((- 4.4641016) + 2)}^{2} {((- 4.4641016) - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 4.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $12$ من $19.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 4.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 4.4641016$ و $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $2$ من $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 6.4641016)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $- 2.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 {(- 6.4641016)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

ارفع $- 6.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $19.92820309$ في $7.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $6.07179669$ في $41.78460949$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

خطوة 6.2.3.3

اقسِم $157.99484145$ على $253.70765383$ .

$f' (- 4.4641016) = 0.62274369$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $0.62274369$ .

$0.62274369$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 4.4641016$ هو $0.62274369$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3.4641016, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.7320508$ في العبارة.

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} ({(- 2.7320508)}^{2} - 12)}{{((- 2.7320508) + 2)}^{2} {((- 2.7320508) - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اطرح $12$ من $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 2.7320508$ و $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $2$ من $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 4.7320508)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $- 0.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 {(- 4.7320508)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

ارفع $- 4.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $7.46410157$ في $- 4.53589842$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $0.53589837$ في $22.39230477$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

خطوة 7.2.3.3

اقسِم $- 33.85640658$ على $11.99999971$ .

$f' (- 2.7320508) = - 2.82136728$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 2.7320508$ هو $- 2.82136728$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 3.4641016, - 2)$ .

تناقص خلال $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} - 12)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} (1 - 12)}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اطرح $12$ من $1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 11$ في $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 1$ و $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 {(- 3)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 \cdot 9}$

خطوة 8.2.2.5

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{9}$

خطوة 8.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{11}{9}$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{11}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, 0)$ .

تناقص خلال $(- 2, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{{(1)}^{2} ({(1)}^{2} - 12)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{1^{2} (1 - 12)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اطرح $12$ من $1$ .

$f' (1) = \frac{1^{2} \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $- 11$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $1$ و $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 \cdot 1}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9}$

خطوة 9.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (1) = - \frac{11}{9}$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 1$ هو $- \frac{11}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 2)$ .

تناقص خلال $(0, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

عوّض بقيمة من الفترة $(2, 2 \sqrt{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.7320508$ في العبارة.

$f' (2.7320508) = \frac{{(2.7320508)}^{2} ({(2.7320508)}^{2} - 12)}{{((2.7320508) + 2)}^{2} {((2.7320508) - 2)}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

ارفع $2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 10.2.1.2

اطرح $12$ من $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 10.2.1.3

ارفع $2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 10.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

أضف $2.7320508$ و $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

خطوة 10.2.2.2

اطرح $2$ من $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} \cdot {0.7320508}^{2}}$

خطوة 10.2.2.3

ارفع $4.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot {0.7320508}^{2}}$

خطوة 10.2.2.4

ارفع $0.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

خطوة 10.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

اضرب $7.46410157$ في $- 4.53589842$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

خطوة 10.2.3.2

اضرب $22.39230477$ في $0.53589837$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

خطوة 10.2.3.3

اقسِم $- 33.85640658$ على $11.99999971$ .

$f' (2.7320508) = - 2.82136728$

خطوة 10.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

خطوة 10.3

المشتق في $x = 2.7320508$ هو $- 2.82136728$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, 2 \sqrt{3})$ .

تناقص خلال $(2, 2 \sqrt{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 11

عوّض بقيمة من الفترة $(2 \sqrt{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.4641016$ في العبارة.

$f' (4.4641016) = \frac{{(4.4641016)}^{2} ({(4.4641016)}^{2} - 12)}{{((4.4641016) + 2)}^{2} {((4.4641016) - 2)}^{2}}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ارفع $4.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 11.2.1.2

اطرح $12$ من $19.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 11.2.1.3

ارفع $4.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 11.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أضف $4.4641016$ و $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.2

اطرح $2$ من $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} \cdot {2.4641016}^{2}}$

خطوة 11.2.2.3

ارفع $6.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot {2.4641016}^{2}}$

خطوة 11.2.2.4

ارفع $2.4641016$ إلى القوة $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

خطوة 11.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

اضرب $19.92820309$ في $7.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $41.78460949$ في $6.07179669$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

خطوة 11.2.3.3

اقسِم $157.99484145$ على $253.70765383$ .

$f' (4.4641016) = 0.62274369$

خطوة 11.2.4

الإجابة النهائية هي $0.62274369$ .

$0.62274369$

خطوة 11.3

المشتق في $x = 4.4641016$ هو $0.62274369$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(2 \sqrt{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 12

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 2 \sqrt{3}), (2 \sqrt{3}, \infty)$

تناقص خلال: $(- 2 \sqrt{3}, - 2), (- 2, 0), (0, 2), (2, 2 \sqrt{3})$

خطوة 13