حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 9$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

اطرح $2 x^{2} x$ من $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

أضف $2 \cdot - 4 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.2.1

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2.2

اضرب $- 2$ في $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 18 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.3

أضف $- 8 x$ و $18 x$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$10 x = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $10 x = 0$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $10 x = 0$ على $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $10$ .

$x = 0$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

عيّن قيمة العبارة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

عيّن قيمة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 4.2.2.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 4.2.3.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 4.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 2$

خطوة 4.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 2, x = 2$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = \frac{10 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $10$ في $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 3$ و $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 {(- 5)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 \cdot 25}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $25$ في $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{25}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 30$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 30$ .

$f' (- 3) = \frac{5 (- 6)}{25}$

خطوة 6.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

خطوة 6.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 3) = \frac{- 6}{5}$

خطوة 6.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 3) = - \frac{6}{5}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 3$ هو $- \frac{6}{5}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 2)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{10 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $10$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 1$ و $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 {(- 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 \cdot 9}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{9}$

خطوة 7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{10}{9}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{10}{9}$ .

$- \frac{10}{9}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{10}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, 0)$ .

تناقص خلال $(- 2, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{10 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $10$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $1$ و $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 \cdot 1}$

خطوة 8.2.3

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{9}$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{10}{9}$ .

$\frac{10}{9}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1$ هو $\frac{10}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 2)$ .

تزايد خلال $(0, 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = \frac{10 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $10$ في $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $3$ و $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1^{2}}$

خطوة 9.2.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1}$

خطوة 9.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اضرب $25$ في $1$ .

$f' (3) = \frac{30}{25}$

خطوة 9.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $30$ .

$f' (3) = \frac{5 (6)}{25}$

خطوة 9.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

خطوة 9.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

خطوة 9.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (3) = \frac{6}{5}$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 3$ هو $\frac{6}{5}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 2), (2, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

خطوة 11