حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 2$ و $g (x) = x + 6$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

اضرب $x + 6$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 6)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 6 - (x - 2)}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x + 6 - x + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 6 - x - - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

أضف $0$ و $6$ .

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (x) = \frac{6 + 2}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.3

أضف $6$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{8}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$8 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $8 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 6)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 4.2.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{8}{{(x + 6)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{x - 2}{x + 6}$ هو $(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$ .

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f' (- 7) = \frac{8}{{((- 7) + 6)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $- 7$ و $6$ .

$f' (- 7) = \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 7) = \frac{8}{1}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $8$ على $1$ .

$f' (- 7) = 8$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $8$ .

$8$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 7$ هو $8$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 6)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 6)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f' (- 5) = \frac{8}{{((- 5) + 6)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $- 5$ و $6$ .

$f' (- 5) = \frac{8}{1^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- 5) = \frac{8}{1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $8$ على $1$ .

$f' (- 5) = 8$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $8$ .

$8$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 5$ هو $8$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 6, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 6), (- 6, \infty)$

خطوة 9