حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} - 4}$ بالصيغة ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 1.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 1.1.3.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

خطوة 1.1.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

خطوة 1.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

خطوة 1.1.5.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.5.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة ${(x + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 4.2.3.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4.2.4

عيّن قيمة العبارة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

عيّن قيمة ${(x - 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 4.2.4.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 4.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 2$

خطوة 4.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 2, x = 2$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $4$ من $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 3$ هو $\frac{6}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

خطوة 7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 1$ هو $\frac{2}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 2, 0)$ .

تزايد خلال $(- 2, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 1$ هو $- \frac{2}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 2)$ .

تناقص خلال $(0, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $4$ من $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 3$ هو $- \frac{6}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, \infty)$ .

تناقص خلال $(2, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

تناقص خلال: $(0, 2), (2, \infty)$

خطوة 11