حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 + x^{2}$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10.2

اضرب $1 + x^{2}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.2.12

انقُل $2$ إلى يسار $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.5.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.2.1

أضف $- 2 x^{3}$ و $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2.2

أضف $2 x + 2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.3

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.4

طبّق قاعدة الضرب على $(1 + x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $4 x = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x = 0$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

عيّن قيمة العبارة ${(1 + x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

عيّن قيمة ${(1 + x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(1 + x)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

عيّن قيمة $1 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + x = 0$

خطوة 4.2.2.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(1 - x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة ${(1 - x)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(1 - x)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(1 - x)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

عيّن قيمة $1 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - x = 0$

خطوة 4.2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 1$

خطوة 4.2.3.2.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.3.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.3.2.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.3.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x = 1$

خطوة 4.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 1$

خطوة 4.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 1, x = 1$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

احذِف الأقواس.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

خطوة 6.2.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

خطوة 6.2.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 2$ هو $- \frac{8}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 1)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.3

اطرح $1$ من $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.5

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

خطوة 7.2.3.5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.8

أضف $2$ و $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

خطوة 7.2.3.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.3.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.3.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.3.12

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.3.13

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

خطوة 7.2.4.3

اضرب $4$ في $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

خطوة 7.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

خطوة 7.2.6

اضرب $- 2 (\frac{16}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

اجمع $- 2$ و $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

خطوة 7.2.6.2

اضرب $- 2$ في $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

خطوة 7.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

خطوة 7.2.8

الإجابة النهائية هي $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - \frac{1}{2}$ هو $- \frac{32}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1, 0)$ .

تناقص خلال $(- 1, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

احذِف الأقواس.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.7

اطرح $1$ من $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.9

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 8.2.2.12

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

خطوة 8.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اقسِم $4$ على $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $\frac{9}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

خطوة 8.2.3.3

اضرب $4$ في $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

خطوة 8.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

خطوة 8.2.5

اضرب $2 (\frac{16}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

اجمع $2$ و $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

خطوة 8.2.5.2

اضرب $2$ في $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

خطوة 8.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $\frac{32}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 1)$ .

تزايد خلال $(0, 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

احذِف الأقواس.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $4$ في $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $1$ و $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

خطوة 9.2.3

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 2$ هو $\frac{8}{9}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 1), (1, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

خطوة 11