حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3^{- x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = 3^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

خطوة 1.1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

خطوة 1.1.2.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $3^{- x} \ln (3)$ .

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

خطوة 1.1.2.3.3

أعِد كتابة $- 1 \cdot 3^{- x}$ بالصيغة $- 3^{- x}$ .

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3^{- x} \ln (3)$ .

$- 3^{- x} \ln (3)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

خطوة 2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

لا توجد نقاط تجعل قيمة المشتق $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ مساوية لـ $0$ أو غير معرّفة. وتمثل $(- \infty, \infty)$ الفترة اللازمة للتحقق من تزايد أو تناقص $f (x) = 3^{- x}$ .

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة. إذا كانت النتيجة سالبة، فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ . أما إذا كانت النتيجة موجبة، فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- \frac{1}{3} \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد ترتيب $\ln (3)$ و $\frac{1}{3}$ .

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

خطوة 5.2.3.2

بسّط $\frac{1}{3} \ln (3)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ .

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

خطوة 6

نتيجة التعويض بـ $1$ في $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ هي $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ ، وهي سالبة، لذا فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \infty)$

خطوة 7

يعني التناقص على مدى الفترة $(- \infty, \infty)$ أن الدالة تتناقص دائمًا.

متناقص دائمًا

خطوة 8