حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $x^{2} - 36$ في $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.9

اجمع $2$ و $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2.2

اضرب $2$ في $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $72$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 x^{2} = 72$

خطوة 2.3.2

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = 72$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = 72$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

خطوة 2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اقسِم $72$ على $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

خطوة 2.3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

خطوة 2.3.4

بسّط $\pm \sqrt{- 36}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $- 36$ بالصيغة $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

خطوة 2.3.4.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (36)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

خطوة 2.3.4.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

خطوة 2.3.4.4

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

خطوة 2.3.4.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 6$

خطوة 2.3.4.6

انقُل $6$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 6 i$

خطوة 2.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 6 i$

خطوة 2.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 6 i$

خطوة 2.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 6 i, - 6 i$

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة ${(x + 6)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة ${(x + 6)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 6)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 4.2.3.2.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 4.2.4

عيّن قيمة العبارة ${(x - 6)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

عيّن قيمة ${(x - 6)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 4.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 6)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 4.2.4.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 4.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = - 6, 6$

خطوة 4.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - 6, x = 6$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

اطرح $72$ من $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $36$ من $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $13$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 7$ هو $- \frac{170}{169}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 6)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 6, 6)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

اطرح $72$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $36$ من $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $- 36$ إلى القوة $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

خطوة 7.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 72$ و $1296$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

أخرِج العامل $72$ من $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

خطوة 7.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $72$ من $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

خطوة 7.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

خطوة 7.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

خطوة 7.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0$ هو $- \frac{1}{18}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 6, 6)$ .

تناقص خلال $(- 6, 6)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 2$ في $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

اطرح $72$ من $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $36$ من $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $13$ إلى القوة $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

خطوة 8.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 7$ هو $- \frac{170}{169}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(6, \infty)$ .

تناقص خلال $(6, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

خطوة 10