حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 24 x - 4$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 24 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $\frac{6}{3}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.2.6.2.4

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 + \frac{d}{d x} (- 4)$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $2 x^{2} - 2 x - 24$ و $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - 24$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{2} - 2 x - 24$ .

$2 x^{2} - 2 x - 24$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 24 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 2 x - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 2 x - 24 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) - 24 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 12) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 12) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} - x) + 2 (- 12)$ .

$2 (x^{2} - x - 12) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - x - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 12$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 4, 3$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$2 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x - 4) (x + 3) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 4) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 3$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $4, - 3$ .

$4, - 3$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 24$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4) = 2 \cdot 16 - 2 \cdot - 4 - 24$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $2$ في $16$ .

$f' (- 4) = 32 - 2 \cdot - 4 - 24$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = 32 + 8 - 24$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $32$ و $8$ .

$f' (- 4) = 40 - 24$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $24$ من $40$ .

$f' (- 4) = 16$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $16$ .

$16$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 4$ هو $16$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 3)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 3)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (2)}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) - 24$

خطوة 6.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) - 24$

خطوة 6.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 1 - 24$

خطوة 6.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اكتب $- 1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} - 24$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - 24$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - 24$

خطوة 6.2.2.4

اكتب $- 24$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 24}{1}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $\frac{- 24}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $\frac{- 24}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 24 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 1 \cdot 2 - 24 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 24 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $- 24$ في $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 48}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 48}{2}$

خطوة 6.2.5.2

اطرح $48$ من $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 49}{2}$

خطوة 6.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{49}{2}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{2}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $- \frac{49}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 3, 4)$ .

تناقص خلال $(- 3, 4)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = 2 {(5)}^{2} - 2 \cdot 5 - 24$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (5) = 2 \cdot 25 - 2 \cdot 5 - 24$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $2$ في $25$ .

$f' (5) = 50 - 2 \cdot 5 - 24$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 2$ في $5$ .

$f' (5) = 50 - 10 - 24$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $10$ من $50$ .

$f' (5) = 40 - 24$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $24$ من $40$ .

$f' (5) = 16$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $16$ .

$16$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 5$ هو $16$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(4, \infty)$ .

تزايد خلال $(4, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 3), (4, \infty)$

تناقص خلال: $(- 3, 4)$

خطوة 9