حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اطرح $12$ من $0$ .

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $- 3$ من $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $- 3$ من $- 12$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم ${(x - 2)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $- 3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.5

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $2$ .

$2$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ هو $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $12$ في $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 3$ و $12$ .

$f' (1) = 9 - 12$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $12$ من $9$ .

$f' (1) = - 3$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 5.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 2)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3$ في $9$ .

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $12$ في $3$ .

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 27$ و $36$ .

$f' (3) = 9 - 12$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $12$ من $9$ .

$f' (3) = - 3$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 3$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, \infty)$ .

تناقص خلال $(2, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, 2), (2, \infty)$

خطوة 8