حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{5} - 5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $5$ في $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $15 u$ من $15 u^{2} - 15 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $15 u$ من $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

خطوة 2.2.3.2

أخرِج العامل $15 u$ من $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

خطوة 2.2.3.3

أخرِج العامل $15 u$ من $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 1$

خطوة 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.5.2.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.5.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.5.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.5.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 1, - 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $15$ في $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 15$ في $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

خطوة 5.2.2

اطرح $60$ من $240$ .

$f' (- 2) = 180$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $180$ .

$180$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 2$ هو $180$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ في $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.6

اجمع $15$ و $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

خطوة 6.2.1.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 6.2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 6.2.1.9

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 6.2.1.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 6.2.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

خطوة 6.2.1.12

اجمع $- 15$ و $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

خطوة 6.2.1.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

خطوة 6.2.2

لكتابة $- \frac{15}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 6.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $16$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $\frac{15}{4}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

خطوة 6.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

خطوة 6.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اضرب $- 15$ في $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

خطوة 6.2.5.2

اطرح $60$ من $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

خطوة 6.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

خطوة 6.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - \frac{1}{2}$ هو $- \frac{45}{16}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 1, 0)$ .

تناقص خلال $(- 1, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

اجمع $15$ و $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 7.2.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 7.2.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

خطوة 7.2.1.8

اجمع $- 15$ و $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

خطوة 7.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

خطوة 7.2.2

لكتابة $- \frac{15}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $16$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $\frac{15}{4}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

خطوة 7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $- 15$ في $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $60$ من $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

خطوة 7.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

خطوة 7.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $- \frac{45}{16}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 1)$ .

تناقص خلال $(0, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $15$ في $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 15$ في $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

خطوة 8.2.2

اطرح $60$ من $240$ .

$f' (2) = 180$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $180$ .

$180$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 2$ هو $180$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

تناقص خلال: $(- 1, 0), (0, 1)$

خطوة 10