حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 4 x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 x + 4 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $8 x + 4$ و $0$ .

$f' (x) = 8 x + 4$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $8 x + 4$ .

$8 x + 4$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $8 x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$8 x + 4 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$8 x = - 4$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $8 x = - 4$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $8 x = - 4$ على $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{8}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$x = \frac{4 (- 1)}{8}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 8 x + 4$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$ هو $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{1}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (- \frac{3}{2}) + 4$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (\frac{- 3}{2}) + 4$

خطوة 5.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (4) (\frac{- 3}{2}) + 4$

خطوة 5.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) + 4$

خطوة 5.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot - 3 + 4$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 12 + 4$

خطوة 5.2.2

أضف $- 12$ و $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 8$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 8$ .

$- 8$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - \frac{3}{2}$ هو $- 8$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{1}{2})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{1}{2}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{2}) + 4$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{1}{2}) + 4$

خطوة 6.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{1}{2})) + 4$

خطوة 6.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 + 4$

خطوة 6.2.2

أضف $4$ و $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 8$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $8$ .

$8$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $8$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{1}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \frac{1}{2}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \frac{1}{2})$

خطوة 8