حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x^{3} - 3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $20$ .

$f' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $5$ في $- 3$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 15 x^{4}$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $15 u$ من $- 15 u^{2} + 60 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $15 u$ من $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

خطوة 2.2.3.2

أخرِج العامل $15 u$ من $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

خطوة 2.2.3.3

أخرِج العامل $15 u$ من $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $- x^{2} + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $- x^{2} + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x^{2} + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 4$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x^{2} = 4$

خطوة 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 2.5.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 2.5.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 2.5.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2, - 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 2, - 2$ .

$0, 2, - 2$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = - 15 {(- 3)}^{4} + 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 15$ في $81$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 {(- 3)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $60$ في $9$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 540$

خطوة 5.2.2

أضف $- 1215$ و $540$ .

$f' (- 3) = - 675$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 675$ .

$- 675$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 3$ هو $- 675$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 2)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 15 {(- 1)}^{4} + 60 {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 15$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 {(- 1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $60$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60$

خطوة 6.2.2

أضف $- 15$ و $60$ .

$f' (- 1) = 45$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $45$ .

$45$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $45$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 2, 0)$ .

تزايد خلال $(- 2, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 15 {(1)}^{4} + 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 15$ في $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60 {(1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 15 + 60 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $60$ في $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60$

خطوة 7.2.2

أضف $- 15$ و $60$ .

$f' (1) = 45$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $45$ .

$45$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $45$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 2)$ .

تزايد خلال $(0, 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = - 15 {(3)}^{4} + 60 {(3)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f' (3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(3)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 15$ في $81$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 {(3)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $60$ في $9$ .

$f' (3) = - 1215 + 540$

خطوة 8.2.2

أضف $- 1215$ و $540$ .

$f' (3) = - 675$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 675$ .

$- 675$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 3$ هو $- 675$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(2, \infty)$ .

تناقص خلال $(2, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 2, 0), (0, 2)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

خطوة 10