حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 1.1.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 1.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 1.1.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 1.1.9

اجمع $6$ و $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 1.1.10

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.11

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.12.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 1.1.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.1.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 = 0$

خطوة 2.3

بما أن $2 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

خطوة 4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 0^{3}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x^{2} = 0$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.3.3.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.3.3.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.3.3.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 6.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 6.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$f' (- 1) = 2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$f' (1) = 2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

خطوة 9