حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $- 20 x^{3} - 8 x$ و $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $- 4 x$ من $- 20 x^{3} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 4 x$ من $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $- 4 x$ من $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $- 4 x$ من $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $5 x^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $5 x^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x^{2} + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$5 x^{2} = - 2$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $5 x^{2} = - 2$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x^{2} = - 2$ على $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

خطوة 2.5.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

خطوة 2.5.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

خطوة 2.5.2.4.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

خطوة 2.5.2.4.4

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 2.5.2.4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 2.5.2.4.5.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 2.5.2.4.5.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 2.5.2.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.5.2.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.5.2.4.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.5.2.4.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.2.4.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.2.4.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 2.5.2.4.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.5.2.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.6.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

خطوة 2.5.2.4.6.2

اضرب $2$ في $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

خطوة 2.5.2.4.7

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

خطوة 2.5.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

خطوة 2.5.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

خطوة 2.5.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 20$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

خطوة 5.2.2

أضف $20$ و $8$ .

$f' (- 1) = 28$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $28$ .

$28$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1$ هو $28$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 20$ في $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

خطوة 6.2.2

اطرح $8$ من $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 28$ .

$- 28$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 28$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \infty)$ .

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0)$

تناقص خلال: $(0, \infty)$

خطوة 8