حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(2 x - 3)}^{2}$ بالصيغة $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

خطوة 1.1.2

وسّع $(2 x - 3) (2 x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

خطوة 1.1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

خطوة 1.1.3.1.4

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

خطوة 1.1.3.1.6

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $6 x$ من $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} - 12 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.4

اضرب $2$ في $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.5

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.7

اضرب $- 12$ في $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.8

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.9

أضف $8 x - 12$ و $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.5.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

خطوة 1.1.5.11

اضرب $4 x^{2} - 12 x + 9$ في $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6.2.5

انقُل $- 12$ إلى يسار $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6.2.6

أضف $8 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

خطوة 1.1.6.2.7

اطرح $12 x$ من $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $12 x^{2}$ .

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 24 x$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ ومجموعهما $b = - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 8$ من $- 8 x$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 8$ في صورة $- 2$ زائد $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 1 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 1$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 3 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 3$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{1}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.5$ في العبارة.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $12$ في $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 24$ في $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $3$ و $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

خطوة 5.2.2.2

أضف $15$ و $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 0.5$ هو $24$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{1}{2})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0.5, \frac{3}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $12$ في $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $24$ من $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 12$ و $9$ .

$f' (1) = - 3$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0.5, \frac{3}{2})$ .

تناقص خلال $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3}{2}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.5$ في العبارة.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.5$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $12$ في $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 24$ في $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $60$ من $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

خطوة 7.2.2.2

أضف $15$ و $9$ .

$f' (2.5) = 24$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2.5$ هو $24$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{3}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

تناقص خلال: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

خطوة 9