حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{3} + 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $7$ في $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $24 x^{2} + 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$24 x^{2} = - 7$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $24 x^{2} = - 7$ على $24$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $24 x^{2} = - 7$ على $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

خطوة 2.5

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة $- \frac{7}{24}$ بالصيغة ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

خطوة 2.5.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

خطوة 2.5.1.3

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

خطوة 2.5.1.4

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

خطوة 2.5.1.5

أعِد كتابة $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ بالصيغة ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

خطوة 2.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{7}{6}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

خطوة 2.5.4

اضرب $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ في $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

خطوة 2.5.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ في $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

خطوة 2.5.5.2

ارفع $\sqrt{6}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

خطوة 2.5.5.3

ارفع $\sqrt{6}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

خطوة 2.5.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.5.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

خطوة 2.5.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.5.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.5.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.5.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

خطوة 2.5.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

خطوة 2.5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

خطوة 2.5.6.2

اضرب $7$ في $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

خطوة 2.5.7

اضرب $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

اضرب $\frac{i}{2}$ في $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

خطوة 2.5.7.2

اضرب $2$ في $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

لا توجد نقاط تجعل قيمة المشتق $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ مساوية لـ $0$ أو غير معرّفة. وتمثل $(- \infty, \infty)$ الفترة اللازمة للتحقق من تزايد أو تناقص $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ .

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة. إذا كانت النتيجة سالبة، فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ . أما إذا كانت النتيجة موجبة، فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $24$ في $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

خطوة 5.2.2

أضف $24$ و $7$ .

$f' (1) = 31$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $31$ .

$31$

خطوة 6

نتيجة التعويض بـ $1$ في $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ هي $31$ ، وهي موجبة، لذا فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \infty, \infty)$ نظرًا إلى أن $24 x^{2} + 7 > 0$

خطوة 7

يعني التزايد على مدى الفترة $(- \infty, \infty)$ أن الدالة تتزايد دائمًا.

متزايد دائمًا

خطوة 8