حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 12 x^{5} + 105 x^{4} - 240 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [105 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{5}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$f' (x) = - 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $5$ في $- 12$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + \frac{d}{d x} (105 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [105 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $105$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $105 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $105 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 105 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $105$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{3})$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 240$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 240 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 \frac{d}{d x} x^{3}$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 240 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $3$ في $- 240$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ .

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 60 x^{2}$ من $- 60 x^{4} + 420 x^{3} - 720 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $- 60 x^{2}$ من $- 60 x^{4}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} + 420 x^{3} - 720 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $- 60 x^{2}$ من $420 x^{3}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 720 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $- 60 x^{2}$ من $- 720 x^{2}$ .

$- 60 x^{2} x^{2} - 60 x^{2} (- 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $- 60 x^{2}$ من $- 60 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{2} (- 7 x)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} \cdot 12 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $- 60 x^{2}$ من $- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x) - 60 x^{2} (12)$ .

$- 60 x^{2} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 7 x + 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $12$ ومجموعهما $- 7$ .

$- 4, - 3$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- 60 x^{2} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 60 x^{2} (x - 4) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4, 3$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 4, 3$ .

$0, 4, 3$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 60 {(- 1)}^{4} + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 1) = - 60 \cdot 1 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 60$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 60 + 420 {(- 1)}^{3} - 720 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = - 60 + 420 \cdot - 1 - 720 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $420$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720 \cdot 1$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $- 720$ في $1$ .

$f' (- 1) = - 60 - 420 - 720$

خطوة 5.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $420$ من $- 60$ .

$f' (- 1) = - 480 - 720$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $720$ من $- 480$ .

$f' (- 1) = - 1200$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1200$ .

$- 1200$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 1200$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 {(\frac{3}{2})}^{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 \frac{81}{2^{4}} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 60 (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 60$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (- 15) (\frac{81}{16}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{81}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - 15 (\frac{81}{4}) + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

اجمع $- 15$ و $\frac{81}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 15 \cdot 81}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $- 15$ في $81$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 {(\frac{3}{2})}^{3} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.9

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{2^{3}}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 420 (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.11.1

أخرِج العامل $4$ من $420$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 (105) (\frac{27}{8}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.11.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.11.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.11.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + 105 (\frac{27}{2}) - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.12

اجمع $105$ و $\frac{27}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{105 \cdot 27}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.13

اضرب $105$ في $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.14

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

خطوة 6.2.1.15

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 \frac{9}{2^{2}}$

خطوة 6.2.1.16

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 720 (\frac{9}{4})$

خطوة 6.2.1.17

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.17.1

أخرِج العامل $4$ من $- 720$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 (- 180) (\frac{9}{4})$

خطوة 6.2.1.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{9}{4}))$

خطوة 6.2.1.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 180 \cdot 9$

خطوة 6.2.1.18

اضرب $- 180$ في $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} - 1620$

خطوة 6.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $\frac{2835}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1620$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{2835}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1620$

خطوة 6.2.2.3

اكتب $- 1620$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1}$

خطوة 6.2.2.4

اضرب $\frac{- 1620}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $\frac{- 1620}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{1215}{4} + \frac{2835 \cdot 2}{4} + \frac{- 1620 \cdot 4}{4}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 2835 \cdot 2 - 1620 \cdot 4}{4}$

خطوة 6.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $2835$ في $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 1620 \cdot 4}{4}$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $- 1620$ في $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 5670 - 6480}{4}$

خطوة 6.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

أضف $- 1215$ و $5670$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4455 - 6480}{4}$

خطوة 6.2.5.2

اطرح $6480$ من $4455$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 2025}{4}$

خطوة 6.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{2025}{4}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{2025}{4}$ .

$- \frac{2025}{4}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{3}{2}$ هو $- \frac{2025}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 3)$ .

تناقص خلال $(0, 3)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(3, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 {(\frac{7}{2})}^{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{7^{4}}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 \frac{2401}{2^{4}} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - 60 (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 60$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 4 (- 15) (\frac{2401}{16}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = 4 \cdot (- 15 \frac{2401}{4 \cdot 4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - 15 (\frac{2401}{4}) + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

اجمع $- 15$ و $\frac{2401}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 15 \cdot 2401}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $- 15$ في $2401$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 {(\frac{7}{2})}^{3} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{7^{3}}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.9

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{2^{3}}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 420 (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.11.1

أخرِج العامل $4$ من $420$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 (105) (\frac{343}{8}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.11.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.11.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 4 \cdot (105 (\frac{343}{4 \cdot 2})) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.11.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + 105 (\frac{343}{2}) - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.12

اجمع $105$ و $\frac{343}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{105 \cdot 343}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.13

اضرب $105$ في $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 {(\frac{7}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.14

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

خطوة 7.2.1.15

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 \frac{49}{2^{2}}$

خطوة 7.2.1.16

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 720 (\frac{49}{4})$

خطوة 7.2.1.17

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.17.1

أخرِج العامل $4$ من $- 720$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 (- 180) (\frac{49}{4})$

خطوة 7.2.1.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} + 4 \cdot (- 180 (\frac{49}{4}))$

خطوة 7.2.1.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 180 \cdot 49$

خطوة 7.2.1.18

اضرب $- 180$ في $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} - 8820$

خطوة 7.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $\frac{36015}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015}{2} \cdot \frac{2}{2} - 8820$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\frac{36015}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 8820$

خطوة 7.2.2.3

اكتب $- 8820$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1}$

خطوة 7.2.2.4

اضرب $\frac{- 8820}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $\frac{- 8820}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{36015}{4} + \frac{36015 \cdot 2}{4} + \frac{- 8820 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 36015 \cdot 2 - 8820 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $36015$ في $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 8820 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $- 8820$ في $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 36015 + 72030 - 35280}{4}$

خطوة 7.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أضف $- 36015$ و $72030$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{36015 - 35280}{4}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $35280$ من $36015$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{735}{4}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{735}{4}$ .

$\frac{735}{4}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = \frac{7}{2}$ هو $\frac{735}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(3, 4)$ .

تزايد خلال $(3, 4)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = - 60 {(5)}^{4} + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$f' (5) = - 60 \cdot 625 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 60$ في $625$ .

$f' (5) = - 37500 + 420 {(5)}^{3} - 720 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f' (5) = - 37500 + 420 \cdot 125 - 720 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $420$ في $125$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 {(5)}^{2}$

خطوة 8.2.1.5

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 720 \cdot 25$

خطوة 8.2.1.6

اضرب $- 720$ في $25$ .

$f' (5) = - 37500 + 52500 - 18000$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 37500$ و $52500$ .

$f' (5) = 15000 - 18000$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $18000$ من $15000$ .

$f' (5) = - 3000$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3000$ .

$- 3000$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 5$ هو $- 3000$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(4, \infty)$ .

تناقص خلال $(4, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(3, 4)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (0, 3), (4, \infty)$

خطوة 10