حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $13 x^{4} - 78 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (13 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $13 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 13 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $13$ .

$f' (x) = 52 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 78$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 78 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 78$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $52 x^{3} - 156 x$ .

$52 x^{3} - 156 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $52 x^{3} - 156 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$52 x^{3} - 156 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $52 x$ من $52 x^{3} - 156 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $52 x$ من $52 x^{3}$ .

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $52 x$ من $- 156 x$ .

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $52 x$ من $52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ .

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 2.5.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 2.5.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 2.5.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $52 x (x^{2} - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.7320508$ في العبارة.

$f' (- 2.7320508) = 52 {(- 2.7320508)}^{3} - 156 \cdot - 2.7320508$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.7320508$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 2.7320508) = 52 \cdot - 20.39230467 - 156 \cdot - 2.7320508$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $52$ في $- 20.39230467$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 - 156 \cdot - 2.7320508$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 156$ في $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 + 426.1999248$

خطوة 5.2.2

أضف $- 1060.39984314$ و $426.1999248$ .

$f' (- 2.7320508) = - 634.19991834$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 634.19991834$ .

$- 634.19991834$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 2.7320508$ هو $- 634.19991834$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \sqrt{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.7320508, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.8660254$ في العبارة.

$f' (- 0.8660254) = 52 {(- 0.8660254)}^{3} - 156 \cdot - 0.8660254$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.8660254$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 0.8660254) = 52 \cdot - 0.64951904 - 156 \cdot - 0.8660254$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $52$ في $- 0.64951904$ .

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 - 156 \cdot - 0.8660254$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 156$ في $- 0.8660254$ .

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 + 135.0999624$

خطوة 6.2.2

أضف $- 33.7749903$ و $135.0999624$ .

$f' (- 0.8660254) = 101.32497209$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $101.32497209$ .

$101.32497209$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 0.8660254$ هو $101.32497209$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1.7320508, 0)$ .

تزايد خلال $(- \sqrt{3}, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.8660254$ في العبارة.

$f' (0.8660254) = 52 {(0.8660254)}^{3} - 156 \cdot 0.8660254$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.8660254$ إلى القوة $3$ .

$f' (0.8660254) = 52 \cdot 0.64951904 - 156 \cdot 0.8660254$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $52$ في $0.64951904$ .

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 156 \cdot 0.8660254$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 156$ في $0.8660254$ .

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 135.0999624$

خطوة 7.2.2

اطرح $135.0999624$ من $33.7749903$ .

$f' (0.8660254) = - 101.32497209$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 101.32497209$ .

$- 101.32497209$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 0.8660254$ هو $- 101.32497209$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \sqrt{3})$ .

تناقص خلال $(0, \sqrt{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.7320508$ في العبارة.

$f' (2.7320508) = 52 {(2.7320508)}^{3} - 156 \cdot 2.7320508$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2.7320508$ إلى القوة $3$ .

$f' (2.7320508) = 52 \cdot 20.39230467 - 156 \cdot 2.7320508$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $52$ في $20.39230467$ .

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 156 \cdot 2.7320508$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 156$ في $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 426.1999248$

خطوة 8.2.2

اطرح $426.1999248$ من $1060.39984314$ .

$f' (2.7320508) = 634.19991834$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $634.19991834$ .

$634.19991834$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 2.7320508$ هو $634.19991834$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\sqrt{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\sqrt{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

خطوة 10