حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

خطوة 1.1.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

خطوة 1.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{9}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

خطوة 1.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

خطوة 1.1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

خطوة 1.1.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

خطوة 1.1.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- x^{- 4} (2 x))$

خطوة 1.1.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{- 4} x)$

خطوة 1.1.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

خطوة 1.1.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{1 - 4})$

خطوة 1.1.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{- 3})$

خطوة 1.1.3.10

اضرب $- 2$ في $- 9$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + 18 x^{- 3}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 18 x^{- 3}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.4.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 0 - \frac{5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.4.3.3

اطرح $\frac{5}{x^{2}}$ من $0$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.4.3.4

اجمع $18$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$

خطوة 2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{2}, x^{3}, 1$

خطوة 2.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

خطوة 2.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.2.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.2.6

عوامل $x^{2}$ هي $x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$x^{2} = x \cdot x$

تحدث $x$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 2.2.7

عوامل $x^{3}$ هي $x \cdot x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $3$ من المرات.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

تحدث $x$ بمعدل $3$ من المرات.

خطوة 2.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{2}, x^{3}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x \cdot x \cdot x$

خطوة 2.2.9

بسّط $x \cdot x \cdot x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} \cdot x$

خطوة 2.2.9.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

خطوة 2.2.9.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2 + 1}$

خطوة 2.2.9.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$x^{3}$

خطوة 2.3

اضرب كل حد في $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ في $x^{3}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب كل حد في $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ في $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

خطوة 2.3.2.1.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

خطوة 2.3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

خطوة 2.3.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 5 x + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 5 x + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

خطوة 2.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 5 x + 18 = 0 x^{3}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $0$ في $x^{3}$ .

$- 5 x + 18 = 0$

خطوة 2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اطرح $18$ من كلا المتعادلين.

$- 5 x = - 18$

خطوة 2.4.2

اقسِم كل حد في $- 5 x = - 18$ على $- 5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اقسِم كل حد في $- 5 x = - 18$ على $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 18}{- 5}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 18}{- 5}$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 5}$

خطوة 2.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{18}{5}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{18}{5}$ .

$\frac{18}{5}$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{5}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{18}{x^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} = 0$

خطوة 4.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 4.4.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 4.4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{18}{5}) \cup (\frac{18}{5}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}} + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{5}{1} + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$f' (- 1) = - 1 \cdot 5 + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f' (- 1) = - 5 + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = - 5 + \frac{18}{- 1}$

خطوة 6.2.1.5

اقسِم $18$ على $- 1$ .

$f' (- 1) = - 5 - 18$

خطوة 6.2.2

اطرح $18$ من $- 5$ .

$f' (- 1) = - 23$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 23$ .

$- 23$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 23$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \frac{18}{5})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.8$ في العبارة.

$f' (1.8) = - \frac{5}{{(1.8)}^{2}} + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.8$ إلى القوة $2$ .

$f' (1.8) = - \frac{5}{3.24} + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $5$ على $3.24$ .

$f' (1.8) = - 1 \cdot 1.54320987 + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1.54320987$ .

$f' (1.8) = - 1.54320987 + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $1.8$ إلى القوة $3$ .

$f' (1.8) = - 1.54320987 + \frac{18}{5.832}$

خطوة 7.2.1.5

اقسِم $18$ على $5.832$ .

$f' (1.8) = - 1.54320987 + 3.08641975$

خطوة 7.2.2

أضف $- 1.54320987$ و $3.08641975$ .

$f' (1.8) = 1.54320987$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $1.54320987$ .

$1.54320987$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1.8$ هو $1.54320987$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \frac{18}{5})$ .

تزايد خلال $(0, \frac{18}{5})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{18}{5}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.6$ في العبارة.

$f' (4.6) = - \frac{5}{{(4.6)}^{2}} + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $4.6$ إلى القوة $2$ .

$f' (4.6) = - \frac{5}{21.16} + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $5$ على $21.16$ .

$f' (4.6) = - 1 \cdot 0.23629489 + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 1$ في $0.23629489$ .

$f' (4.6) = - 0.23629489 + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.4

ارفع $4.6$ إلى القوة $3$ .

$f' (4.6) = - 0.23629489 + \frac{18}{97.336}$

خطوة 8.2.1.5

اقسِم $18$ على $97.336$ .

$f' (4.6) = - 0.23629489 + 0.18492644$

خطوة 8.2.2

أضف $- 0.23629489$ و $0.18492644$ .

$f' (4.6) = - 0.05136845$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.05136845$ .

$- 0.05136845$

خطوة 8.3

المشتق في $x = 4.6$ هو $- 0.05136845$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{18}{5}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{18}{5}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \frac{18}{5})$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (\frac{18}{5}, \infty)$

خطوة 10