حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - x^{3} - 3 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{3} - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 3$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{2} - 3$ .

$- 3 x^{2} - 3$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x^{2} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 x^{2} = 3$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = 3$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = 3$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{- 3}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $3$ على $- 3$ .

$x^{2} = - 1$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

لا توجد نقاط تجعل قيمة المشتق $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ مساوية لـ $0$ أو غير معرّفة. وتمثل $(- \infty, \infty)$ الفترة اللازمة للتحقق من تزايد أو تناقص $f (x) = - x^{3} - 3 x$ .

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة. إذا كانت النتيجة سالبة، فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ . أما إذا كانت النتيجة موجبة، فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 3$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 3$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (1) = - 3 - 3$

خطوة 5.2.2

اطرح $3$ من $- 3$ .

$f' (1) = - 6$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 6

نتيجة التعويض بـ $1$ في $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ هي $- 6$ ، وهي سالبة، لذا فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \infty)$

خطوة 7

يعني التناقص على مدى الفترة $(- \infty, \infty)$ أن الدالة تتناقص دائمًا.

متناقص دائمًا

خطوة 8