حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 1$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4.2

اضرب $x^{2} + 3$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ ومجموعهما $b = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

أعِد كتابة $2$ في صورة $- 1$ زائد $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.9

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 1) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, 3$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أضف $- 2$ و $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اطرح $3$ من $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $4$ و $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 2$ هو $- \frac{5}{49}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 1)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أضف $1$ و $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

خطوة 6.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 1$ هو $\frac{1}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1, 3)$ .

تزايد خلال $(- 1, 3)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أضف $4$ و $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اطرح $3$ من $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $16$ و $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $19$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

خطوة 7.2.3

اضرب $5$ في $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 4$ هو $- \frac{5}{361}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(3, \infty)$ .

تناقص خلال $(3, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 1, 3)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

خطوة 9