حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x - 9}{4 x + 5}$ , $x = 2$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x - 9$ و $g (x) = 4 x + 5$ .

$\frac{(4 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(4 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{(4 x + 5) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $4 x + 5$ .

$\frac{3 \cdot (4 x + 5) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [4 x + 5]}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.8

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.10

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.11

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) (4 + 0)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - (3 x - 9) \cdot 4}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 2.12.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x - 9)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x - 9)}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot - 9}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$\frac{12 x + 15 - 12 x + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $12 x + 15 - 12 x + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $12 x$ من $12 x$ .

$\frac{0 + 15 + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.2

أضف $0$ و $15$ .

$\frac{15 + 36}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $15$ و $36$ .

$\frac{51}{{(4 x + 5)}^{2}}$

خطوة 4

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$\frac{51}{{(4 (2) + 5)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{51}{{(8 + 5)}^{2}}$

خطوة 5.2

أضف $8$ و $5$ .

$\frac{51}{13^{2}}$

خطوة 5.3

ارفع $13$ إلى القوة $2$ .

$\frac{51}{169}$