حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (3 x^{2} - 5 x + 1) (2 - 3 x - x^{2})$ , $x = 4$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$ و $g (x) = 2 - 3 x - x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 - 3 x - x^{2}] + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 3 x - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.6

اضرب $- 3$ في $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - (2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

خطوة 2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 5 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.13

اضرب $2$ في $3$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.14

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.16

اضرب $- 5$ في $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.17

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + 0)$

خطوة 2.18

أضف $6 x - 5$ و $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $1$ من $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1$ من $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $1$ من $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $1$ من $1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

خطوة 3.2

اضرب $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ في $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$- 3 (3 x^{2}) - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $3$ في $- 3$ .

$- 9 x^{2} - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 5$ في $- 3$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.6

اضرب $- 2$ في $3$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.8

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.8.1

انقُل $x$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.9

اضرب $- 2$ في $- 5$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.2.10

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.3

أضف $- 9 x^{2}$ و $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.4

اطرح $2 x$ من $15 x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

خطوة 3.4.5

وسّع $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $6$ في $2$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.1

انقُل $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.5

اضرب $- 3$ في $6$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.6

اضرب $- 5$ في $- 3$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{2} x - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.8.1

انقُل $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.9

اضرب $- 1$ في $6$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

خطوة 3.4.6.10

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

خطوة 3.4.7

أضف $12 x$ و $15 x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 18 x^{2} - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

خطوة 3.4.8

أضف $- 18 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3} - 13 x^{2}$

خطوة 3.5

اطرح $13 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3}$

خطوة 3.6

أضف $13 x$ و $27 x$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 3 - 6 x^{3} - 10 - 6 x^{3}$

خطوة 3.7

اطرح $10$ من $- 3$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 6 x^{3} - 13 - 6 x^{3}$

خطوة 3.8

اطرح $6 x^{3}$ من $- 6 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 12 x^{3} - 13$

خطوة 4

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$- 12 {(4)}^{2} + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 12 \cdot 16 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 12$ في $16$ .

$- 192 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

خطوة 5.1.3

اضرب $40$ في $4$ .

$- 192 + 160 - 12 {(4)}^{3} - 13$

خطوة 5.1.4

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- 192 + 160 - 12 \cdot 64 - 13$

خطوة 5.1.5

اضرب $- 12$ في $64$ .

$- 192 + 160 - 768 - 13$

خطوة 5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $- 192$ و $160$ .

$- 32 - 768 - 13$

خطوة 5.2.2

اطرح $768$ من $- 32$ .

$- 800 - 13$

خطوة 5.2.3

اطرح $13$ من $- 800$ .

$- 813$