حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

خطوة 9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

خطوة 10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

خطوة 12

أضف $1$ و $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

خطوة 13.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق في $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.6

اضرب $- 2$ في $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

خطوة 15.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 15.1.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

خطوة 15.1.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

خطوة 15.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

خطوة 15.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.11.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

خطوة 15.1.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

خطوة 15.1.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 + 2$

خطوة 15.2

أضف $- 6$ و $2$ .

$- 4$