حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{64}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{1}{4}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{1}{4}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = 3$ و $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

خطوة 4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 3 \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

خطوة 5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$a_{n} = 3 \frac{1}{4^{n - 1}}$

خطوة 6

اجمع $3$ و $\frac{1}{4^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{3}{4^{n - 1}}$

خطوة 7

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 8

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.3

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1 \cdot \frac{256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.5

اجمع $- 1$ و $\frac{256}{256}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

اضرب $- 1$ في $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.7.2

اطرح $256$ من $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{- 255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

خطوة 10.2

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

خطوة 10.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

خطوة 10.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 4}{4}}$

خطوة 10.4.2

اطرح $4$ من $1$ .

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{- 3}{4}}$

خطوة 10.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{3}{4}}$

خطوة 11

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

خطوة 12

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3})$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $3$ من $255$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 (85)}{256} \cdot \frac{4}{3})$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 \cdot 85}{256} \cdot \frac{4}{3})$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{256} \cdot 4)$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $4$ من $256$ .

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 (64)} \cdot 4)$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 \cdot 64} \cdot 4)$

خطوة 14.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = 3 \cdot \frac{85}{64}$

خطوة 15

اضرب $3 (\frac{85}{64})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $3$ و $\frac{85}{64}$ .

$S_{4} = \frac{3 \cdot 85}{64}$

خطوة 15.2

اضرب $3$ في $85$ .

$S_{4} = \frac{255}{64}$