حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + x - 4$ , $[0, 8]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 1 + 0$

خطوة 1.1.1.5

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$f' (x) = 2 x + 1$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x + 1$ .

$2 x + 1$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x^{2} + x - 4$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{1}{2}$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

احذِف الأقواس.

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.2.3

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.2.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

خطوة 1.4.1.2.3.3

اكتب $- 4$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

خطوة 1.4.1.2.3.4

اضرب $\frac{- 4}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 1.4.1.2.3.5

اضرب $\frac{- 4}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

خطوة 1.4.1.2.3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

خطوة 1.4.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

خطوة 1.4.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.5.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{1 - 2 - 16}{4}$

خطوة 1.4.1.2.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{- 1 - 16}{4}$

خطوة 1.4.1.2.5.3

اطرح $16$ من $- 1$ .

$\frac{- 17}{4}$

خطوة 1.4.1.2.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{17}{4}$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{17}{4})$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

خطوة 3

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{2} + 0 - 4$

خطوة 3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احذِف الأقواس.

${(0)}^{2} + 0 - 4$

خطوة 3.1.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 0 - 4$

خطوة 3.1.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$0 - 4$

خطوة 3.1.2.4

اطرح $4$ من $0$ .

$- 4$

خطوة 3.2

احسِب القيمة في $x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8$ .

${(8)}^{2} + 8 - 4$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

احذِف الأقواس.

${(8)}^{2} + 8 - 4$

خطوة 3.2.2.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$64 + 8 - 4$

خطوة 3.2.2.3

أضف $64$ و $8$ .

$72 - 4$

خطوة 3.2.2.4

اطرح $4$ من $72$ .

$68$

خطوة 3.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0, - 4), (8, 68)$

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(8, 68)$

الحد الأدنى المطلق: $(0, - 4)$

خطوة 5