حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 36$ و $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.7

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.5.1.1

اطرح $2 x^{2} x$ من $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.5.1.2

أضف $2 \cdot 36 x$ و $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.5.2.1

اضرب $2$ في $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.5.2.2

اضرب $- 2$ في $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.1.3.5.3

أضف $72 x$ و $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$144 x = 0$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $144 x = 0$ على $144$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $144 x = 0$ على $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $0$ على $144$ .

$x = 0$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

خطوة 1.4.1.2.1.2

اطرح $36$ من $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{- 36}{0 + 36}$

خطوة 1.4.1.2.2.2

أضف $0$ و $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

خطوة 1.4.1.2.3

اقسِم $- 36$ على $36$ .

$- 1$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(0, - 1)$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 36$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 36)}^{2} - 36$ و ${(- 36)}^{2} + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

خطوة 2.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $- 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

خطوة 2.1.2.1.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

خطوة 2.1.2.1.1.4

أخرِج العامل $- 36$ من ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

خطوة 2.1.2.1.1.5

أخرِج العامل $- 36$ من $- 36$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

خطوة 2.1.2.1.1.6

أخرِج العامل $- 36$ من $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

خطوة 2.1.2.1.1.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1.7.1

أخرِج العامل $- 36$ من $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

خطوة 2.1.2.1.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

خطوة 2.1.2.1.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

خطوة 2.1.2.1.2

أضف $- 36$ و $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

خطوة 2.1.2.2.2

أضف $36$ و $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

خطوة 2.1.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

اضرب $- 1$ في $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

خطوة 2.1.2.3.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{35}{37}$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $36$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(36)}^{2} - 36$ و ${(36)}^{2} + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من ${(36)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

خطوة 2.2.2.1.2

أعِد كتابة $- 36$ بالصيغة $- 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

خطوة 2.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

خطوة 2.2.2.1.4

أخرِج العامل $36$ من $- 1 (- 36^{2} + 36)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

خطوة 2.2.2.1.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.5.1

أخرِج العامل $36$ من $36^{2}$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

خطوة 2.2.2.1.5.2

أخرِج العامل $36$ من $36$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

خطوة 2.2.2.1.5.3

أخرِج العامل $36$ من $36 \cdot 36 + 36 (1)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

خطوة 2.2.2.1.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

خطوة 2.2.2.1.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

خطوة 2.2.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب $- 1$ في $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

أضف $- 36$ و $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

خطوة 2.2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

أضف $36$ و $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

خطوة 2.2.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

الحد الأدنى المطلق: $(0, - 1)$

خطوة 4