حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $[1, 5]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

خطوة 1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

خطوة 1.2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{2}, 1$

خطوة 1.2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{2}$

خطوة 1.2.4

اضرب كل حد في $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = - x^{2}$

خطوة 1.2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.2.5.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 1.2.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 1.2.5.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 1.2.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 1.2.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 1.2.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 1.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 1.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x + \frac{1}{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اقسِم $1$ على $1$ .

$1 + 1$

خطوة 1.4.1.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$2$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$- 1 - 1$

خطوة 1.4.2.2.2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$- 2$

خطوة 1.4.3

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$(0) + \frac{1}{0}$

خطوة 1.4.3.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 1.4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(1, 2)$

خطوة 3

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

خطوة 3.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اقسِم $1$ على $1$ .

$1 + 1$

خطوة 3.1.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$2$

خطوة 3.2

احسِب القيمة في $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $5$ .

$(5) + \frac{1}{5}$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$

خطوة 3.2.2.2

اجمع $5$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}$

خطوة 3.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5 \cdot 5 + 1}{5}$

خطوة 3.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{25 + 1}{5}$

خطوة 3.2.2.4.2

أضف $25$ و $1$ .

$\frac{26}{5}$

خطوة 3.3

اسرِد جميع النقاط.

$(1, 2), (5, \frac{26}{5})$

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(5, \frac{26}{5})$

الحد الأدنى المطلق: $(1, 2)$

خطوة 5